简述一元线性回归模型中最小二乘法的原理

基于最小二乘法的状态估计理论及实验仿真分析

北方民族大学

学士学位论文

析

论文题目: 基于最小二乘法的状态估计理论及实验仿真分

院(部)名 称: 信息与计算科学学院 学 生 姓 名: 专 业: 学 号: 指导教师姓名: 论文提交时间: 论文答辩时间: （不填） 学位授予时间: （不填）

最小二乘

普通最小二乘法（OLS）

普通最小二乘法（Ordinary Least Square，简称OLS），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。

在已经获得样本观测值yi,xi（i=1,2, ,n）的情况下（见图2.2.1中的散点），假如模型

^

（2.2.1）的参数估计量已经求得到，为 0和

^

1，并且是最合理的参数估计量，那么直线

方程（见图2.2.1中的直线）

^

^

^

yi 0 1xi i=1,2, ,n (2.2.2)

^

应该能够最好地拟合样本数据。其中yi为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。

n

Q

i 1

(yi 0 1xi)

n

2

i

2

ui Q( 0, 1)

2

Q

0 0, 1 1

2

u i

y

1

i y

y

1

n

i

0 1xi

2

minQ( 0, 1)

(2.2.3)

为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小

最小二乘法及其应用

1． 引言

最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Sti

测量平差中最小二乘法的数学原理及简例

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20 07年第 2期

西部探矿工程

8 3

测量平差中最小二乘法的数学原理及简例张宏(武汉测绘院，湖北武汉 4 0 1 ) 3 0 0

摘要：量平差依据的准则是最小二乘法，测利用多元函数积分学中的条件极值理论做为工具，可解释其数学原理。关键词：平差；最小二乘法；件极值条

中图分类号：2文献标识码：文章编号：04 762 0)2 O8一 O P2 B 1 O~5 1 (O7O一 O 3 2平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论采用何种平差模型，平差的最终目的都是求取观测值a n f V1 V2 r i (,…… V )

s tg V1 V2… V= O . (,… )

的最或然值，并评定其精度，由于多余观测的而产生的平差数学模型都不可能直接获得唯一解，例如：单三角测量中，分别观测了三角形的三个内角 A、 B C 、,而条件方程的却只有一个， A+B+e一 10,时只即 8。此有一个方程却有三个待求量，显然，有无穷多组解，而测量平差的目的，是要在这无穷多组解中附加某种约就束，找出一组最为合理的解，种约束是采用某种准测这实现的，其中最广泛采用的准则就是最小二乘原理

计量经济学期刊文献,适用于初级计量经济学习者。

第

月年卷第期

沈阳航空工业学院学报

万

二

吻

最小二乘法在计量经济模型中的应用张金力沈阳大学经济学院

陈广伏辽宁省工商行政干部学校

摘

要

本文从古典计量经济模型的建立谈起,

,

又从异方差模型、

、

自相关模型和联立

方程模型中关键词

论述了由最小二乘法派生出的加权最小二乘法。,

广义最小二乘法和间接

最小二乘法等

最小二乘法

计量经济模型

,

随机扰动项

引

言最先于。,

最小二乘法是法国大数学家处理一类从天文学和测地学中提出的数据分析问题最小二乘法之于数理统计学的几个分支如二乘法的应用相关分析、

年发表的

。

其动机是为统计学应用

有如微积分之于数学、

,

这并非夸张之辞,,

。

回归分析

方差分析和线性模型理论等

其关键都在于最小作为其进一步发展

不少现代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来,

或纠正其不足之处而采取的对策法等就是最好的例子。

如回归分析中一系列修正最小二乘法而产生的估计方

最小二乘法的思想最小二乘法的基本思想是使误差平方和达到最小平衡,,

在各方程的误差之间建立了一种,

从而防止了某一极端误差。

,

对决定参数的估计值取得支配地位,

而这有助于揭示

系统的更接近真实的状态

经济计量学中计量经济模型的建立就是应用最小二乘法原理

而且这一方法贯穿于

计量经济学的始终

实验二 一元线性回归模型

【实验目的】

掌握一元线性回归模型的建模方法。 【实验内容】

一、我国税收预测模型；

二、建立中国城镇居民消费函数。 【实验步骤】

（以我国税收预测模型为例）

一、启动EViews软件：

进入Windows/双击Eviews快捷方式，进入EViews窗口，或点击开始/程序/Econometrics Views，进入EViews窗口。

二、建立工作文件： 键入CREATE A 85 97 三、输入数据

1.键入命令：DATA Y X

2.输入每个变量的统计数据。 四、图形分析：

1.趋势图：PLOT Y X 2.相关图：SCAT X Y 五、估计线性回归模型： 命令方式 LS Y C X

六、建立城镇居民消费模型（以菜单方式） 1.建立工作文件：

⑴点击File╲New╲Workfile（将弹出一个工作文件对话框）； ⑵选择undated or irregular（非时序数据，数据个数选8） 点击OK。

2.输入数据：

⑴键入命令：DATA Y X

⑵输入每个变量的统计数据。 3.图形分析：

⑴趋势图：PLOT Y X ⑵相关图：SCAT X Y 4.估计线性回归模型： 菜单方式

⑴点击Qu

3.1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB程序

例3.1．1 给出一组数据点(xi,yi)列入表3-1中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线.

表3-1 例3.1.1的一组数据(xi,yi)

xi yi -2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6 -192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04 解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序

>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];

y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];

plot(x,y,'r*'),

legend('实验数据(xi,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'),

title('例3.1.1的数据点(xi,yi)的散点图') 运行后屏幕显示数据的散点图（略）.

（3）编写下列MATLAB程序计算f(x)

3.1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB程序

例3.1．1 给出一组数据点(xi,yi)列入表3-1中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线.

表3-1 例3.1.1的一组数据(xi,yi)

xi yi -2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6 -192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04 解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序

>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];

y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];

plot(x,y,'r*'),

legend('实验数据(xi,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'),

title('例3.1.1的数据点(xi,yi)的散点图') 运行后屏幕显示数据的散点图（略）.

（3）编写下列MATLAB程序计算f(x)

3.1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB程序

例3.1．1 给出一组数据点(xi,yi)列入表3-1中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线.

表3-1 例3.1.1的一组数据(xi,yi)

xi yi -2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6 -192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04 解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序

>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];

y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];

plot(x,y,'r*'),

legend('实验数据(xi,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'),

title('例3.1.1的数据点(xi,yi)的散点图') 运行后屏幕显示数据的散点图（略）.

（3）编写下列MATLAB程序计算f(x)

非线性曲线拟合最小二乘法

一、问题提出

设数据（xi,yi）,(i=0,1,2,3,4).由表3-1给出，表中第四行为lnyi?yi,可以看出数学模型为y?aebx,用最小二乘法确定a及b。 i 0 1.00 5.10 1.629 1 1.25 5.79 1.756 2 1.50 6.53 1.876 3 1.75 7.45 2.008 4 2.00 8.46 2.135 xi yi yi 二、理论基础

根据最小二乘拟合的定义:在函数的最佳平方逼近中f(x)?C[a,b]，如果f(x)只在一组离散点集{xi,i=0,1,…,m}，上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据{（xi,yi）, i=0,1,…,m}的曲线拟合，这里yi?f(xi)，i=0,1,…,m,要求一个函数y?S*(x)与所给数据{（xi,yi）,i=0,1,…,m}拟合，若记误差

?i?S*(xi)?yi,i=0,1,…,m,??(?0,?1,?，?m)T,设?0(x),?1(x),?,?n(x)是C[a,b]上线性无关函数族，在??span{?0(x),?1(x),?,?n(x)}中找一函数S*(x)，使误差平方和

?这里

22?????[S(xi)?yi]?min2i*