概率与统计第一章总结
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第一章 事件与概率
第一章 随机事件与概率
教学要求
通过本章的教学,使学生达到以下几个方面的基本要求:
1、理解随机现象、样本空间和随机事件的概念,会用随机变量表示随机事件,掌握事件间的关系与运算;
2、理解概率的公理化定义及确定概率的三种方法(频率方法、古典方法与几何方法),掌握概率的基本性质;
3、理解条件概率与独立性的概念,掌握与条件概率有关的三个基本公式(乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式);
4、掌握概率的计算的基本方法:
(1) 概率的直接计算:古典概率与几何概率;
(2) 概率的间接推算:利用概率的基本性质、基本公式和事件的独立性,由较简单事件的概率推算较复杂事件的概率.
重点与难点
本章的重点是概率的计算,关键在于会判别概率的各种类型,然后选择相应的公式进行计算;难点是古典概率的计算与全概率公式的运用.
§1.1 随机事件及其运算
一、随机现象
自然界中有两类现象:
一类是“条件完全确定结果”的现象,就是在一定的条件下,只有一个结果出现的现象,这类现象称为确定性现象. 例如,每天早晨太阳从东方升起;水在标准大气压下加热到1000C就沸腾;一个口袋中有十只相同的白球,从中任取一只必为白球.
另一类是“条件不能完全确定结果”现象,就是在一定的
第一章习题课概率统计
第一章习题课
1、 事件A, B满足P(AB)?P(AB),且知P(A)?p,(0?p?1)。求P(B) 。 2、设随机事件A, B及其和事件A?B的概率分别为0.4,0.3和0.6,求P(AB)。 3、设A,B为两个事件,求证
P(AB)?1?P(A)?P(B)?P(AB)。
4、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A,B,C全不发生的概率。 5、已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的概率:P(A?B),P(AB),P(A?B),P(AB) 6、已知事件AB发生, 则事件C一定发生。证明:
P(A)?P(B)?P(C)?1
7、设事件A,B,C两两相互独立,且ABC=?,P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知P(A?B ? C)=9/16, 求P(A)。 8、设事件A,B相互独立,且A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,求P(A)。
9、设事件A,B,C相互独立,且P(A?B)=1/3, P(A?C)=1/3,P(B?C)=2/3, 求A,B,C三个事件至少发生一个的概率。
10、已知P(A)?a,P(B)?b,P(B|A)?c,且a<1,b<1。求P(A?B),P(A|B) 11、已知 0
12、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击,其命中率分别为p1和p2。甲先射,谁先命中谁获胜,试分别求甲获
概率论与数理统计 第一章教案
第一讲 概率的定义及性质
Ⅰ 授课题目
§1.0 概率论研究的对象 §1.1 随机试验
§1.2 样本空间、随机事件 §1.3 频率与概率,概率的性质
Ⅱ 教学目的与要求
1、理解随机试验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念 2、理解样本空间、样本点的概念,会用集合表示样本空间和事件 3、掌握事件的基本关系与运算 4、掌握概率的性质 Ⅲ 教学重点与难点
重点:事件的基本关系与运算,概率的性质 难点:用集合表示样本空间和事件 Ⅳ 讲授内容:
§1.0 概率论研究的对象
一 两类现象---确定现象与不确定现象
先从实例来看自然界和社会上存在着两类不同的现象. 例1 水在一个大气压力下,加热到100℃就沸腾. 例2 向上抛掷一个五分硬币,往下掉. 例3 太阳从东方升起. 例4 一个大气压力下,20℃的水结冰.
例1,例2,例3是必然发生的,而例4是必然不发生的.
个确切结果)称之为确定性现象或必然现象.微积分,线性代数等就研究必然现
象的数学工具.与此同时,在自然界和人类社会中,人们还发现具有不同性质的另一类现象先看下面实例.
例5 用大炮轰击某一目标,可能击中,也可能击不中. 例6
概率论与数理统计第一章5
第五节一、条件概率 二、乘法定理
条件概率
三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
一、条件概率1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.S { HH T 为反面. 分析 设 H 为正面 , HT , TH , TT }.
2 1 . 4 2 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB) P (B ). P ( B A), 则 P ( B A) 3 34 P ( A)A { HH , HT , TH }, B { HH , TT }, P ( B )
2. 定义设 A, B 是两个事件, 且 P ( A) 0, 称 P ( AB ) P ( B A) P ( A) 为在事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.
同理可得
P ( AB) P( A B) P( B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
3. 性质(1) 非负性 : P ( B A) 0; (2) 规范性 : P ( S B) 1, P ( B)
概率论与数理统计第一章答案
习题一
1. 用三个事件
,,A B C 的运算表示下列事件: (1)
,,A B C 中至少有一个发生;(2),,A B C 中只有A 发生; (3)
,,A B C 中恰好有两个发生;4),,A B C 中至少有两个发生; (5),,A B C 中至少有一个不发生;(6)
,,A B C 中不多于一个发生. 解:(1)A B C (2)ABC (3) ABC ABC CAB (4) AB BC CA (5) A B C (6) AB BC C A 2. 在区间[0,2]上任取一数x , 记
1{|1},2A x x =<≤ 13{|}42B x x =≤≤,求下列事件的表达式: (1)AB ; (2)AB ; (3) A B .
解:(1)
{|1412132}x x x ≤≤<≤或 (2)?
(3){|014121x x x ≤<<≤或
3. 已知
()0.4,()0.2,()0.1P A P BA P CAB ===,求()P A B C . 解:0.2()()P A P AB =-,
0.1()(())()()()()()()P C AB P C A
B P
C P CA CB P C P CA P CB P ABC -=-=-=--+ ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P CA
第一章 概率统计基础知识(2)概率的古典定义与统计定义
二、概率的古典定义与统计定义
二、概率的古典定义与统计定义(p5-11)
确定一个事件的概率有几种方法,这里介绍其中两种最主要的方法,在历史上,这两种方法分别被称为概率的两种定义,即概率的古典定义及统计定义。
(一) 概率的古典定义
用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下:
(1)所涉及的随机现象只有有限个样本点,设共有n个样本点; (2)每个样本点出现的可能性相同(等可能性); 若事件
含有k个样本点,则事件
的概率为:
(1.1-1)
[例1.1-3]
[例1.1-3]掷两颗骰子,其样本点可用数组(x , y)表示,其中,x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为:
它共含36个样本点,并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材6页图。这个图很多同学看不懂!其实就是x+y=?在坐标系反映出来的问题。
(二)排列与组合
(二)排列与组合
用古典方法求概率,经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排列与组合是两类计数公式,它们的获得都基于如下两条计数原理。
(1)乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成,其中做第一步有m1种方
法,做第二步m2种方法,做第k步有mk种方法,那么完成这件事共有m1×m2×?×
经济概率统计作业参考答案(第一章)
第一章 随机事件及概率
作业题
1、同时抛掷两颗骰子,以(x,y)表示第一颗、第二颗骰子分别出现的点数,设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”,B表示“两颗骰子出现点数之差为0”,C表示“两颗骰子出现点数之积不超过16”,写出事件A,
BC,B?A中所含的样本点。
解:
,(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,A?{(1,2)
4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)}
BC?{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
,(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} B?A?{(1,1)
2、设A,B,C表示三个随机事件,试通过A,B,C表示下列有关随机事件:(1)A、B都发生而C不发生;(2)B发生;(3)A,B,C至少一个发生;(4)A,B,C恰有一个发生;(5)A,B,C不多于两个发生。 解:(1)ABC (2)B (3)A?B?C (4)ABC?ABC?ABC (5)ABC
3、袋中有球12个,2白10黑,今从中取4个,试求(1)恰有一个白球的概率
海南大学概率统计教材第一章习题详解
习题一
(A)
1. 用三个事件A,B,C的运算表示下列事件:
(1)A,B,C中至少有一个发生; (2)A,B,C中只有A发生; (3)A,B,C中恰好有两个发生; (4)A,B,C中至少有两个发生; (5)A,B,C中至少有一个不发生; (6)A,B,C中不多于一个发生.
解:(1)A?B?C (2)ABC (3) ABC?ABC?CAB (4) AB?BC?CA (5) A?B?C (6) AB?BC?CA 2. 在区间[0,2]上任取一数x, 记 A?{x|件的表达式:
(1)AB; (2)AB; (3) A?B.
解:(1){x|14?x?12或1?x?32} (2)?
(3){x|0?x?14或12?x?1
3. 已知P(A)?0.4,P(BA)?0.2,P(CAB)?0.1,求P(A?B?C). 解:0.2?P(A)?P(AB),
113?x?1},B?{x|?x?},求下列事2420.1?P(CAB)?P(C?(A?B))?P(C)?P(CA?CB)?P(C)?P(CA)?P(C
(第一章)随机事件与概率习题
第一章 随机事件与概率
亲量圭尺,躬察仪漏,目尽毫厘,心穷筹策。
──祖冲之
内容提要
1. 事件间的关系与运算(四种关系:包含关系、互不相容、对立和相互独立;三种运算:和、积与差;若干运算规律:交换律、结合律、分配律和对偶律:Ai?i?1?n ?A,?A??A)
iiii?1i?1i?1nnn2. 确定概率的三种方法:频率方法(P(A)?fn(A)?k(A出现的次数);古典,n充分大)
n(试验的总次数)方法(用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率:P(A)?(kA中的样本点数));
(样本点总数)n几何方法(用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率:P(A)?S(的度量)AA);
S(??的度量)3. 概率的公理化定义及其简单性质
(1) 公理化定义:概率是定义在事件域??上的非负、规范、可列可加的实值函数:
1o非负性:P?A??02o规范性:P????13o可列可加性:PA1?A2???PA1?PA2??,,AiAj??(i?j)(2) 性质:
??????
1o.oP(?)?0,n?n?2.有限可加性:若A1,?
概率论第一章
第一章 概率论基础 第一
事件与样本空间
一 两类现象
1、确定性现象:在一定条件下,必然发生的现象。 2、随机现象:统计规律。 二 随机试验
1、重复性 2、确定性 3、随机性 三 样本空间
?={试验的所有可能结果} 样本点 ω
例1:从编号为1,2,3的球中,有放回地取两次,每次一只,考虑顺序,观察所取到的球。
解:?={11,12,13,21,22,23,31,32,33} 事件A:全有1号球 则 A ={11,12,13,21,31} 四 随机事件
定义:试验的某种结果称为随机事件,简称为事件。 一般用A,B,C表示。
注:1、随机事件通常是样本空间的子集。
2、事件的表示方法:①集合②文字叙述
3、一次试验的结果属于事件A,则称事件A在这次试验中发生。 4、基本事件 {ω} 不可能事件? 必然事件A=? 五 事件的关系与运算
设A,B是?的两个事件
1、包含:A?B 若事件A发生必然导致事件B发生。
2、相等:A=B
3、事件的并:A?B 事件A与B至少有一个发生。 4、事件的交:A?B或AB 事件A与B同时发生。
5、事件的差:A-B=A-(A?B) 事件