常微分方程解的唯一性证明

考虑一类中立型积分微分方程的概周期解的存在性和唯一性问题。利用矩阵测度和不动点的方法获得概周期解存在唯一性,并推广了相关文献的主要结果。

第 1卷第 4期 2 1年 2月 1 0117— 1 1 (0 14 0 0 -4 6 1 85 2 1、 -80 0

科

学

技

术

与

工

程

Vo. 1 N0 4 F b 2 1 1 1 . e . 0 1

S inc c noo y a gn e ig ce e Te h lg nd En i e rn

@ 2 1 S iTc . nn . 0 1 e eh E gg .

一

类积分微分方程概周期解的存在唯一性钱雪森王良龙(徽大学数学科学学院，肥 2 0 3 )安合 30 9

摘

要

考虑一类中立型积分微分方程的概周期解的存在性和唯一性问题。利用矩阵测度和不动点的方法获得概周期解存

在唯一性，并推广了相关文献的主要结果。 关键词积分微分方程中图法分类号 0 7 .2 15 1;概周期解矩阵测度 A 不动点

文献标志码

近年来，多学者致力于对具有无穷时滞的泛许函微分方程概周期解的存在性问题的研究，献文

1预备知识定义 1[ 设“R 于是连续的，:—R关若对于

[,] 12分别研究了以下系统。

一

()=A t () (, t)+ I

3, optimum problem

maxU(x1,x2)?x1x2

22{x1,x2}s.t. 3x1?2x2?12,x1?0,x2?0

求U的最大值，并证明其存在性和唯一性。 解：

1，效用函数U为指数形式，可以取对数来求其最值。

记 V?logU(x1,x2)?2logx1?2logx2 （这里的log 是自然对数） 写出lagrange 函数L?2logx1?2logx2??(12?3x1?2x2) K－T条件：

?L?x1?L?x2?L???2x12x2?3??0,

??2??0,

?L???12?3x1?2x2?0,??0,???(12?3x1?2x2)?0

分析K－T条件： 1，??0，矛盾。舍去 2，??13?0,x1?2,x2?3，

2222maxV?2log2?2log3 maxU?x1x2?2*3?36

充分性证明：V(x1,x2)?logU(x1,x2)?2logx1?2logx2， 写出海赛矩阵，判断最值。 ?V?x1?V?x2?2,?V22x1?x122??2x12,?V?x1?x2,?V?x1?x222?0

?x2?x2,?V2??2x22?0

??2V?2?x海赛矩阵为：?21??

试论常微分方程的奇解

摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通

解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.

关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.

Discussing Singular Solution about First Order

Differential Equation

ZHU Yong-wang

(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science)

Advisor: Professor LI Jian-min

Abstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution

常微分方程试题——证明题

证明题

1. 试证：如果?(t)是

dXdt?AX满足初始条件?(t0)??的解，那么

.

?(t)?expA(t?t0)?2. 设y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x)?C，其中C为常数．

3. 假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组

dXdt?AX?Cemt，有一解形如：?(t)??yPemt，其中C,P是常数向量.

为线性方程的充

dydx4. 设f(x,y)及?f连续,试证方程dy要条件是它有仅依赖与x的积分因子.

5. 设f(x)在[0,??)上连续，且xlim???的任意解y?y(x)均有limy(x)?0x????f(x,y)dx?0求证：方程f(x)?0，

?y?f(x).

6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它

的通解.

7. n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解.

8. 设y??(x)是一阶非齐次线性方程于区间I上的任一解，?(x)是其对应一阶齐次线性方程于区间I上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式：

y?C?(x)??(x)

是一阶非齐次线性方程于区间I上的全部解的共同表达式。

9. 设n?n矩阵函数A1(t

常微分方程数值解

一只小船度过宽为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸B点，已知河水流速v1 与船在静水中的中的速度v2 之比为k

(1)建立描述小船航线的数学模型，求其解析解；

(2)设d = 100 m,v1 = 1 m/s,v2 = 2 m/s,用数值解法求渡河所需时间，任何时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较； (3)若流速v1 =0 ,0.5 ,1.5 ,2 m/s结果将如何；

解题过程

（1） 以B为原点，沿河岸向右为x轴正向，垂直河岸向下为y轴正向，建立 坐标系。设在t时刻，船在x方向上的位移是x(t)，在Y方向上的位移是y(t)。

在t时刻，船在x方向上的速度是x'(t)，在y方向上的速度是y'(t)，将船的速度v和水度v1在x,y轴方向上分解，可得：

vx?v1?v2sin?及vy??v2cos?

又tan??x y故sin??xx?y22cos???v2yy?x22yx?y

22

则有vy?dy=dt以及vx? (2)

dx=v1?dtv2xy?x22

数值解：下面将用龙格-库塔方法对微分方程和微分方程组进行近似求解 function Xdot=fun(t,x,v1,v2) d=100;v1=1;v2=

北京理工大学

微积分-常微分方程解法

常微分方程各种解题方法

程功 2011/2/16

1.几个基本定义

（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.

实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.

分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数

分类2:

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程F(x,y,y?)?0,y??f(x,y);

高阶?n?微分方程F(x,y,y?,?,y(n))?0,y(n)?f(x,y,y?,?,y(n?1)).

分类3: 线性与非线性微分方程.y??P(x)y?Q(x),x(y?)2?2yy??x?0;

?dy?3y?2z,??dx分类4: 单个微分方程与微分方程组.?

?dz?2y?z,??dx（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.

微分方程的解的分类：

① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.

例y??y,通解y?Cex;

y???y?0,通解y?C1sinx?C2cosx;

② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （

《常微分方程》证明题及答案 54

证 明 题（每题10分）

1、设函数f (t)在[0,??)上连续且有界，试证明方程

dx?x?f(t)的所有解均在[?,??)上dtx有界.

证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t0)=x0,t0?[0+?)

由一阶线性方程的求解公式有

y(x)?y0e?(x?x0)??f(s)e(s?x)ds

x0现只证x(t)在[t0,+?)有界，设|f(t)|?M ,t?[0+?) 于是对t0?t<+?有

x?M(x?x0)M(s?t)|f(s)|eds 0x|y|?|y|e??0 ?|x0|+Me

-t

?eds

t0(t?t)ts ?|x0|+M[1?e0]

?|x0|+M 即证

2、设函数f (x),p(x)在[0,??）上连续，且limp(x)?a?0且x???|f(x)|?b(a,b,为

3、设函数f (x)在[0,??）上连续，且limf(x)?b又a>0

x???4、设函数y (x)在[0,??)上连续且可微，且lim[y'(x)?y(x

茂名学院

毕业论文

题目常微分方程数值解及其MATLAB实现

英文并列题目Numerical Solution of Ordinary Differential Equations and MATLAB Implementation

学院理学院专业数学与应用数学（师范）

班级数学05-1班学生李尧光

指导教师（职称）李伟勋（副教授）

完成时间2009年1月15日至2009 年6月10日

毕业论文任务书

数学系数学与应用数学（师范）专业数学05-1班学生李尧光

一、毕业论文课题常微分方程数值解及其MATLAB实现

二、毕业论文工作自2009 年1 月15 日起至2009 年 6 月10 日止

三、毕业论文进行地点茂名学院图书馆、学生宿舍

四、毕业论文的内容要求

1．内容要求

《常微分方程数值解及其MATLAB实现》主要介绍常微分方程初值问题的数值解法，探讨了采用单步法求解常微分方程初值问题的数值解，并运用MATLAB进行编程求解。

2．过程要求

（1）4月10日前按要求组织所需资料，完成提纲、摘要。

（2）5月26日前按要求查阅相关文献、撰写论文初稿。

（3）6月9日前按要求完成论文终稿、打印装订以及答辩前的准备工作。

（4）6月10日至14日为小组答辩，15日至16日为公开答辩

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

同济大学五版高等数学学习资料

u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy

manlab软件应用试验题目

专业 序号 姓名 日期

实验3 常微分方程数值解

【实验目的】

1．掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法；

2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题；

3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。

【实验内容】

用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较

(1) y' y 2x,

y(0) 1

2(0 x 1),精确解y 3e 2x 2;2x

(2) y' x y, y(0) 0或y(0) 1 (0 x 10).

【解】:手工分析怎样求解

【计算机求解】:怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数形式？

【程序如下】:

function f=f(x,y)

f=y+2*x;

clc;clear;

a=0;b=1; %求解区间

[x1,y_r]=ode45('f',[a b],1); %调用龙格库塔求解函数求解数值解；

%% 以下利用Euler方法求解

y(1)=1;N=100;h=(b-a)/N;

x=a:h:b;

for i=1:N

y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i));

end

figure(1)

plot(x1,y_r,'r*',x