矩阵运算和特征值运算的关系

第15章 求矩阵特征值和特征向量

幂 法

幂法规范化算法

1. 输入矩阵A、初始向量u，误差eps 2. k?1

3. 计算V(k) ?Au(k-1)

4. mk ?max(V), mk-1 ?max(V) 5. uk ? V(k)/mk

(1)

6. 如果| mk - mk-1|

注：如上算法中的符号max(V)表示取向量V中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。

(k)

(k-1)

(0)

规范化幂法程序

Clear[a,u,x];

a=Input[\系数矩阵A=\；

u=Input[\初始迭代向量u(0)=\； n= Length[u];

eps= Input[\误差精度eps =\；

nmax=Input[“迭代允许最大次数nmax=”]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2},

Do[m1=Abs[x[[k]]];

If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[

>> x=[1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2,1,1;1/3,1/5,3,1,1] x =

1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.0000 0.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 1.0000

>> [V D]=eig(x) V =

-0.4658 0.4419 + 0.2711i 0.4419 - 0.2711i -0.3672 + 0.2415i -0.3672 - 0.2415i

-0.8409 0.7773 0.7773 0.8575

第四章 矩阵的特征值和特征向量

60??4??并判断它能否相似对角化。

例1 求下列矩阵的特征值与特征向量A??3?50，若能，

?????3?61??求可逆阵P，使PAP??（对角阵）。

例2 已知三阶方阵A的三个特征值为?2,3,4，则A的特征值为_______，A的特征值为_______，A 的特征值为_______，A?3A?2E的特征值为_______

*?1T?12?001???例3 设矩阵A?x1y 有三个线性无关的特征向量，则x,y应满足条件_______ ????100???200??200?????例5 已知矩阵A?002与B?0y0相似，则x?______y?______ ???????00?1???01x??例6 设n阶方阵A满足A?3A?2I?0，求A的特征值

2?211????1例7 已知向量??(1,k,1)T是矩阵A?121的逆矩阵A的特征向量，求常数k

????112??例8 设A为非零方阵，且A?0 (m为某自然数)，证明：A不能与对角阵相似 例9 设n阶方阵A满足A?7A?10I?0，求证：A相似于一个对角矩阵

结

2m论 总结

1

第五章 求矩阵特征值与特征向量

n阶方阵A的n个特征值就是其特征方程

det(A??I)?0

的n个根，方程A属于特征值?的特征向量x是线性方程组

Ax??x

的非零解。本章讨论求方阵A的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。

5.1 幂 法

在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。

5.1.1幂法的基本思想

幂法是求实方阵A按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是：先任取非零初始向量x0，然后作迭代序列

xk?1?Axk，k?0,1,??? （5。1）

再根据k增大时，xk各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵A的按模最大特征值及其特征向量。

先看一个计算实例。 例1 设矩阵

?1A???22?? 1?用特征方程容易求得A的两个特征值为

?1??1，?2?3

下面用幂法来计算，取初始向量x0??1,0?，计算向量序列 xk?1?Axk，k

关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论

福建农林大学 尤天革

一、特征值与特征向量的概念

1、特征值与特征向量定义：设V是数域F上的n维向量空间，?为其线性变换，A是?在基??i?下的方阵表示。若λ∈F及非零向量?∈V使

??=λ? 或Ax=λx

（x是?在基??i?下的坐标列），则称λ为?或A的特征值或特征根，?称为?的属于λ的特征

向量，x称为A的特征向量。

2、结论：设?是数域F上的线性变换，A是线性变换?在基?1，?2，…，?n下的矩阵，则线性

变换?与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值，且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1，?2，…，?n下的坐标。

特征值与特征向量是本书教学的一个中心，它是本书前面所学知识的一个应用，有关

特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。

二、特征值与特征向量的几个例子

例1 试证：当n阶方阵A、B均为对称阵时，AB与BA有相同的特征值。

证明1：由特征多项式︱AB－λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA－λE︱ 于是AB与BA有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。 证明2：已证明过，方阵与它的转置方阵有相同的特征

关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论

福建农林大学 尤天革

一、特征值与特征向量的概念

1、特征值与特征向量定义：设V是数域F上的n维向量空间，?为其线性变换，A是?在基??i?下的方阵表示。若λ∈F及非零向量?∈V使

??=λ? 或Ax=λx

（x是?在基??i?下的坐标列），则称λ为?或A的特征值或特征根，?称为?的属于λ的特征

向量，x称为A的特征向量。

2、结论：设?是数域F上的线性变换，A是线性变换?在基?1，?2，…，?n下的矩阵，则线性

变换?与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值，且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1，?2，…，?n下的坐标。

特征值与特征向量是本书教学的一个中心，它是本书前面所学知识的一个应用，有关

特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。

二、特征值与特征向量的几个例子

例1 试证：当n阶方阵A、B均为对称阵时，AB与BA有相同的特征值。

证明1：由特征多项式︱AB－λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA－λE︱ 于是AB与BA有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。 证明2：已证明过，方阵与它的转置方阵有相同的特征

方阵的特征值与特征向量

第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量

第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质

方阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量定义

设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足

Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 ， 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量

方阵的特征值与特征向量

例

2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4

1 ξ1 = 2 1

2 ξ2 = 1 3

验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解

2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1

2 1 1 2 6 Aξ 2 =

第18卷第3期2002年9月

北京建筑工程学院学报

JOURNALOFBEIJINGINSTITUTEOFCIVILENGINEERINGANDARCHTECTURE

Vol.18No.3Jun.2002

文章编号:1004-6011(2002)04-0058-03

大型实对称矩阵特征值的数值解法

刘长河 寿玉亭 马龙友 代西武 刘世祥

(基础部,北京,100044)

摘 要:本文介绍计算稀疏大型实对称矩阵特征值的方法 Davidson方法。并把它与矩阵的拟上三角化方法结合起来,得到一种求一般大型实对称矩阵特征值的方法。关键词:特征值;三对角矩阵;Davidson方法.中图分类号:O241 6 文献标识码:A

0 引言

早在19世纪中叶,Jacobi就给出了求实对称矩阵的特征值的数值解法 经典Jacobi方法。此后,人们研究出关于矩阵的特征值及特征向量的许多新的数值解法。如幂方法,Krylov方法,Lanczos方法,Frame方法,QR方法等。特别是近几十近来,随着现代科学的发展,不断地提出一些大型的矩阵计算问题。同时,计算机技术的飞跃、计算能力的增强,使解决这些问题成为现实。Davidson方法便是目前应用较广的计

方阵的特征值与特征向量

第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量

第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质

方阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量定义

设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足

Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 ， 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量

方阵的特征值与特征向量

例

2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4

1 ξ1 = 2 1

2 ξ2 = 1 3

验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解

2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1

2 1 1 2 6 Aξ 2 =

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方阵的秩与特征值的关系

作者：秦川李小飞

来源：《课程教育研究·学法教法研究》2015年第27期

【摘要】对于n阶方阵而言，秩和特征值都是其重要特征，本文将建立它们之间的联系。通过矩阵的秩，得到矩阵的特征值的相关信息;反过来，通过矩阵的特征值的情况，得到矩阵的秩的取值范围。

【关键词】n阶方阵 ;特征值 ;秩 ;实对称矩阵

【Abstract】For the n？鄄order matrix， rank and characteristic values are the important features， This paper will establish the connection between them. The related information about characteristic value of the matrix is obtained by matrix rank.In turn， By characteristic value of matrix， we can get the value range of the matrix rank.

【Key wo