切比雪夫不等式应用场合

切比雪夫不等式及其应用

王林（2013080201031）

指导教师：吕恕

摘要：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它是证明切比雪夫大数定律的重要

工具和理论基础。从切比雪夫不等式的证明切入，然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律，最后给出了切比雪夫不等式的一些应用，讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。 关键词：切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用

0.引言

切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它不但用于理论证明，而且用于随机变量取值概率的估计，且其推广形式有许多方面的应用。

1.切比雪夫不等式

设随机变量X存在数学期望E(X)和方差D（X)，则对任意实数?有：P{X-E(X)}??}? 证明：（1）设X为离散型随机变量，其分布列为P(X=Xi）=Pi（i=1,2,3...)则P{|X-E(X)|??}=

D(X)?2

|Xi?E(X)|???Pi?1?2?(Xi?E(X))2Pi?i?1?D(X)

?2（2）设X为连续性随机变量，其概率密度为P（X),由于E(X),D(X)均存在

切比雪夫不等式证明一、

试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.

解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB(1000,1/2).因此 500 2 1

1000=×==npEX, 250) 2

答题完毕，祝你开心! 1 1( 2 1

1000)1(= ××= =pnpDX, 而所求的概率为

}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100 1 2 = ≥ DX . 二、

切比雪夫(Chebyshev)不等式

对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,

恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}

越小，P{|X-EX|<ε

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二维切比雪夫不等式

作者：唐建航

来源：《学习导刊》2013年第10期

摘要：本文根据一维切比雪夫不等式推导出二维切比雪夫不等式 关键字：概率论 切比雪夫不等式 二维切比雪夫不等式

概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均.切比雪夫不等式对任何分布形状的数据都适用.本文简述了二维切比雪夫不等式. 定义一 对于两个随机变量和 记

称作随机变量和的协方差，如果，， 则

称作随机变量和的相关系数.

定理一 切比雪夫不等式 设是某一概率空间，，是非负随机变量.那么，对任意， 证明：注意到

其中是集合的示性函数. 于是，根据数学期望的性质 从而切比雪夫不等式得证.

定理二 已知随机变量，.且其数学期望为和.那么存在

证明 我们知道，对于某一概率空间，是某一随机变量，其值域为如果设，则显然可以表示为

其中为概率空间

篇一：经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式 篇一

mathwang

几个经典不等式的关系

一 几个经典不等式

（1）均值不等式

设a1,a2,？an?0是实数

a?a?？?a12n ？?？

111n?+？?a1a2an

其中ai?0,i?1,2,？n.当且仅当a1?a2?？?an时，等号成立。

n

（2）柯西不等式

设a1,a2,？an,b1,b2,？bn是实数，则

？a

21

22?a2?？?an?？b12?b22?？?bn2?？?a1b1?a2b2?？?anbn?

2

当且仅当bi?0(i?1,2,？，n)或存在实数k，使得ai?kbi(i?1,2,？，n)时，等号成立。

（3）排序不等式

设a1?a2?？?an，b1?b2?？?bn为两个数组，c1，c2，？，cn是b1，b2,？，bn的任一排列，则

a1b1?a2b2?？?anbn?a1c1?a2c2?？?ancn?a1bn?a2bn?1?？?anb1 当且仅当a1?a2?？?an或b1?b2?？?bn时，等号成立。

（4）切比晓夫不等式

对于两个数组：a1?a2?？?an，b1?b2?？?bn，有

a1b1?a2b2?？?anbn?a1?a2?？?an?？b1?b2?？?bn?a1bn?a2bn?

第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式本次课讲授第三章第4—8节，方差，协方差、 相关系数与大数定理； 下次课讲授第四章第1-4节：正态分布的密度与 期望方差。 下次上课前完成作业9,上课时交作业P37---40

页重点：方差与协方差 难点：方差协方差与独立相关系数之间的关系

第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式概括各类情况的均值公 式 定义：E ( X ) xi P ( xi ) xP ( x ) i 1

若X连续，则令P ( xi X xi x ) P ( xi ) f ( xi ) xi , E ( X ) xi P ( xi ) xi f ( xi ) xi xf ( x )dxi 1 i 1

x

Y g( X )时，E (Y ) E[ g( X )] g( x ) P ( x ) g( x ) f ( x )dx

Z g( X , Y )时，E g( X , Y ) g( xi , y j ) P ( xi , y j )i j

x

g( x , y ) f ( x , y )dxdy

回顾： 1.原点矩 定义1

选修4-5不等式选讲

第8课时:不等式的应用（1） 陕西省西乡县第二中学数学教研组 余国庆

教学目标：1．初步会用均值不等式求函数的最值问题；

2．能综合运用函数关系，不等式知识解决简单的实际问题。

教学重点、难点：化实际问题为数学问题。 教学过程：

一 复习 1．均值不等式；

2．运用数学知识解决实际问题的一般步骤。

二 新课讲解

例1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：首先建立水池总造价关于一边长度的函数关系式，然后均值不等式求函数的最小值。

例2 甲,乙是两位粮食经销商,他们每次都会在同一粮食生产基地以相同的价格购进粮食,某月,他们共购进粮食3次,各次的价格不同,甲每次购10000kg的粮食,乙每次购10000kg的粮食,谁的购粮方式更经济? 分析：本题是购买粮食的问题,要搞清: 甲,乙两人的购粮次数, 购粮数量, 购粮单价以及每次购粮的钱款数等数量.再表示出甲,乙3次购粮的

1

实际问题 的解 检验

数学模 型的解 实际问题 审题、分 析、建模 数学模型 求解 平均每千克的粮价

均值不等式的应用

刘艺

【摘要】摘要：本文旨在探究均值不等式的应用.即利用均值不等式去解决一类关于n次多项式的不等式证明问题。

【期刊名称】教育教学论坛

【年(卷),期】2011(000)017

【总页数】3

【关键词】均值不等式；n次多项式；基本元素

设a1，a2，…，an∈R+，n∈N且n＞1，则

（当且仅当a1=a2=…=an，时，“=”成立）

利用（*）式，能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用（*）式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.

为研究问题方便，不妨称满足（*）式中的a1，a2，…，an为基本元素，由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.

一、所涉及的命题中，明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式，可选用a1，a2，…，an为基本元素，直接利用（*）式证明例1：设a1，a2，…，an∈R+求证（a1+a2+…+an）

分析：由于题目中明显含有和式（a1+a2+…+an）与，故可选ai和为基本元素，由（*）式着手解决。

简证：选ai和为基本元素，由均值不等式可得

证毕.

例2：设a1，a2，…，an为不相等的正数，且S=a1+a2+…+an，

(一)不等式概念和性质错解例析

初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒

一、理解概念不透致错

例1、下列给出四个式子，

①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是（ ）

A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

错解、选A

分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D

二、符号意义不清致错 例2、下列不等式

①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是（ ）

A、②④ B、② C、①②④ D、②③④

错解、选A

分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0” 正解、选D

例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）

A B C

D

错解，选A

分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心

初二数学备课组

CST China天线阵的切比雪夫加权一、

切比雪夫多项式简介切比雪夫多项式是微分方程 (1 x 2 )

d 2Tm ( x) dT ( x) x m+ m 2Tm ( x)= 0的解。 2 dx dx 1 Tm ( x)= cos(m cos x) 当≤ 1 x 可以表示为： 1 Tm ( x)= c h(m c h x) 当 x> 1 将切比雪夫多项式按照适当的形式展开，并对其分析知：切比雪夫多项式具有三个特征： (1)、当 x的值的变化范围在±1之间时，无论哪一阶，多项式 Tm ( x)的值均在+1和-1之间变动，并具有振动的特性。 (2)、多项式的根，即 Tm ( x)=0时 x的值均在±1之间，并分布在对称于 x=0的位置上，根的个数与多项式的阶数 m相同。 (3)、当 x> 1时，所有 Tm ( x)的值都是无限增加的。对应于 Tm ( x0 )=R可得 x0= ch(或者是写为方程 x0=二、

1 1 ch R ) m

1 ( R+ R 2 1)1/ m+ ( R R 2 1)1/ m 。 2

切比雪夫加权天线阵若某一天线阵的波瓣图与某阶的切比雪夫多项式的曲线相一致，则该天线阵具有最佳的方向

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实践教学

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兰州理工大学

计算机与通信学院

2013年春季学期

信号处理课程设计

题 目：切比雪夫I型低通滤波器设计 专业班级： 通信工程三班 姓 名： 学 号： 指导教师： 蔺莹 成 绩： 1

摘要

本次课程设计将完成一个数字切比雪夫低通IIR滤波器的设计，利用双线性变换和冲激响应不变法完成设计，并利用MATLAB进行仿真。

已知数字滤波器的性能指标为：通带截止频率为:

?p?0.4?,通带波动为Rp?1dB,?s?0.45?,阻带波动为RP?15dB，要求设计满足以上技术指标的切比雪夫I型低通滤波器。绘制出理想冲激响应和实际冲激响应结果图。并且给出幅度响应结果图。

关键字：数字滤波器 切比雪夫 双线性变换 冲激响应不变

2

目录

前言 ..............