非线性振动理论

《非线性振动》学习报告

2010年3月至6月在北京学习期间，中科院并没有开设相同或者类似的课程，所以我只能以自学的方式完成课程。我每周的学习时间保持在3小时左右，使用的课本是《非线性振动》（刘延柱 陈立群 编），根据绪论的内容，以及今后可能遇到的实际问题，我重点阅读的章节为前四章。本文内容，尤其是前几章的内容，主要以我在看书时的勾画和笔记。本文全部由我自己输入，在完成过程中，没有十分注意排版的问题，所以板式可能比较混乱希望老师谅解。

第一章 非线性振动的定性分析方法 1.1 稳定性理论的基本概念

特定的运动成为系统的未受干扰的运动，简称为稳态运动，而受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。

李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定 李雅普诺夫直接方法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。

定理：若保守系统的势能在平衡状

基于虚拟仪器的振动测试

第31卷　第6期2007年12月

武汉理工大学学报(与工程版)

JournalofWuhanUniversityofTechnology

(TransportationScience&Engineering)

交通科学

Vol.31　No.6Dec.2007

基于LabVIEW的非线性振动仿真测试平台

林富生

1,2)

*

　黄其柏　詹志刚　孟　光

1)3)4)

(华中科技大学机械科学与工程学院1)　武汉　430074)

(武汉科技学院机电工程学院2)　武汉　430073)(武汉理工大学能源与动力学院3)　武汉　430063)

(上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室4)　上海　200240)

摘要:在LabVIEW平台上设计了非线性振动仿真和测试分析系统.系统功能包括常用的时域、频域分析功能,还包括非线性分析所需的相轨图、分叉图、Poincare图、Lyapunov指数等模块.仿真数据可由几种方法生成,既可以在控制面板或在MATLAB节点中输入状态变量表示的函数来生成,也可以选择输入其他仿真程序生成的数据.实际测试时则从工程系统中采集数据.关键词:虚拟仪器;非线性振动;仿真;测试中图法分类号:O329;TP274;TH113.21

0　引　

1.9 Ritz-Galerkin法伽辽金法基本思想：伽辽金法是一种变分方法，亦称 伽辽金法基本思想 里兹(Ritz)平均法。基本思想是假设一含待定系数 的近似解，代入控制方程后产生偏差(残值),为使 偏差最小，用一权函数(变分)乘以该偏差，并使其 在一周期内积分为零。从而得到确定待定系数的代数 方程组，解此方程组求出待定系数，即得所求近似解。

自治系统

+ f ( x ) = 0 x 看成静力平衡方程 表示惯性力 表示转动力和约束反力

ω

为待求的圆频率

+ f ( x ) = 0 x x f (x) 由虚位移原理： 由虚位移原理：

[ + f ( x )] δ x = 0 x

设解

x ( t ) = ∑ ai wi ( t )i =1

N

代入原方程，由于近似解一般不会刚好等于真解， 所以会产生不等于零的残值 N & & R(ai ) = ∑ ai wi + f ∑ ai wi ≠ 0 i =1 i =1 N

近似解的变分δ x = ∑ wi ( t )δ aii =1 N

为使偏差最小，取这个残值与近似解的变分的乘积，在 一周期内积分(也即使偏差在一个周期内平均分布)为零：

∫

T

0

工程机械结构原理、运用与维护

维普资讯

第3 8卷第 7期 20 0 5年 7月

天

津

大

学

学

报

Vo . 8 No 7 13 .

J u n l f i j nv ri o r a a i U ies y o T n n t

非线性振动控制的神经网络离散逆系统方法张强，何玉敖(. 1天津大学建筑工程学院，天津 30 7; . 0 0 2 2中国民航学院交通工程学院天津 3 0 0 ) 03 0,

摘

要：针对非线性结构振动控制难以用线性控制方法精确控制的情况提出神经网络离散逆系统方法 .立了建 结构的离散化模型，用神经网络将非线性系统通过逆系统变换变为伪线性系统对该伪线性系统可以用一般线再,,

性方法精确控制.方法将非线性结构控制问题转化成了线性结构控制问题使问题难度大大减小.某非线性建该对筑结构振动作了控制仿真，现了精确线性化，制效果曲线与对线性结构控制效果曲线几乎完全吻合神经网络 实控,.

离散逆系统方法发挥了神经网络和线性控制各自的优点， -于强非线性结构的振动控制 -￣ . j

.

关键词：非线性结构；振动控制；逆系统方法；精确线性化；神经网络中图分类号：T 3 13 U 1 .文献标志码：A 文章编号：09 1 7 2 0 ) 7 0 1. 5

非线性动力学

随着科学技术的发展，非线性问题出现在许多学科之中，传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求，非线性动力学也就由此产生。

非线性动力学联系到许多学科，如力学、数学、物理学、化学，甚至某些社会科学等。 非线性动力学的三个主要方面：分叉、混沌和孤立子。事实上，这不是三个孤立的方面。混沌是一种分叉过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象。

经过多年的发展，非线性动力学已发展出了许多分支。如分叉、混沌、孤立子和符号动力学等。然而，不同的分支之间又不是完全孤立的。非线性动力学问题的解析解是很难求出的。因此，直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段。

* 混沌理论是谁提出的？

混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。

美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。

美国气象学家洛伦茨在2O世纪 6O年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始

ANSYS非线形分析指南 几何非线形分析

几何非线性分析

随着位移增长，一个有限单元已移动的坐标可以以多种方式改变结构的刚度。一般来说这类问题总是是非线性的，需要进行迭代获得一个有效的解。 大应变效应

一个结构的总刚度依赖于它的组成部件（单元）的方向和单刚。当一个单元的结点经历位移后，那个单元对总体结构刚度的贡献可以以两种方式改变变。首先，如果这个单元的形状改变，它的单元刚度将改变。（看图2─1(a)）。其次，如果这个单元的取向改变，它的局部刚度转化到全局部件的变换也将改变。（看图2─1（b)）。小的变形和小的应变分析假定位移小到 足够使所得到的刚度改变无足轻重。这种刚度不变假定意味着使用基于最初几何形状的结构刚度的一次迭代足以计算出小变形分析中的位移。（什么时候使用“小”变形和应变依赖于特定分析中要求的精度等级。

相反，大应变分析说明由单元的形状和取向改变导致的刚度改变。因为刚度受位移影响，且反之亦然，所以在大应变分析中需要迭代求解来得到正确的位移。通过发出NLGEOM，ON（GUI路径Main Menu>Solutio

Origin非线性拟合练习

Origin非线性拟合练习 作者：李运生

来源：厚朴〖HOPE〗工作室

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更新时间：2011-08-26

应老大要求，发布一些origin处理数据的方法，仅以六叔布置的部分作业为例（实验书第

50页），简单示范下，挺好用，比excel 强多了。使用的origin是8.0版，不同的版本操作可能有点不同，但结果差不多。

打开界面，输入数据，拟合表面张力对浓度曲线那一题。如下图：

图1 选择数据

作出散点图:Plot/Symbol/Scatter，发现不是线性的……

Origin非线性拟合练习

图2 散点图

这时要稍微考虑一下，拟合的方法可以选择多项式拟合，在Excel里也可以做的，而且项数越多，相关系数越大。根据级数的概念，项数无限多时候，R2是可以为1的。查阅一下物化下册的教材，发现这个公式：

过稍微变形，转化为，（318页，西施科夫斯基公式），经 ，a、b、c是参数，都有明确的意义，另一个c是浓度。这时用对数函数就可以方便地拟合了，在工具栏依次选

Analysis/Fitting/Nonlinear Curve Fit/Open Dialogue…，在弹出的窗口中，Function Selection部分的Ca

ANSYS非线形分析指南 基本过程

非线性结构分析

非线性结构的定义

在日常生活中,会经常遇到结构非线性。例如，无论何时用钉书针钉书，金 属钉书钉将永久地弯曲成一个不同的形状。（看图1─1（a））如果你在一个木 架上放置重物，随着时间的迁移它将越来越下垂。（看图1─1（b））。当在 汽车或卡车上装货时，它的轮胎和下面路面间接触将随货物重量的啬而变化。 （看图1─1（c））如果将上面例子所载荷变形曲线画出来,你将发现它们都显 示了非线性结构的基本特征--变化的结构刚性.

图1─1 非线性结构行为的普通例子

非线性行为的原因

引起结构非线性的原因很多，它可以被分成三种主要类型： 状态变化（包括接触）

许多普通结构的表现出一种与状态相关的非线性行为,例如，一根只能拉伸的电缆可能是松散的,也可能是绷紧的。轴承套可能是接触的,也可能是不接触的, 冻土可能是冻结的,也可能是融化的。这些系统的刚度由于系统状态的改变在不同的值之间突然变化。状态改变也许和载荷直接有关（如在电缆情况中）， 也可能由某种外部原因引起（如在

在ABAQUS中必须用真实应力和真实应变定义塑性.ABAQUS需要这些值并对应地在输入文件中解释这些数据。

然而，大多数实验数据常常是用名义应力和名义应变值给出的。这时，必须应用公式将塑性材料的名义应力（变）转为真实应力（变）。

考虑塑性变形的不可压缩性，真实应力与名义应力间的关系为： l0A0?lA， 当前面积与原始面积的关系为： A?A0l0 l将A的定义代入到真实应力的定义式中，得到：

??FFll???nom() AA0l0l0其中

l也可以写为1??nom。 l0 这样就给出了真实应力和名义应力、名义应变之间的关系：

???nom(1??nom)

l?l0l??1 l0l0真实应变和名义应变间的关系很少用到，名义应变推导如下：

?nom?上式各加1，然后求自然对数，就得到了二者的关系：

??ln(1??nom)

ABAQUS中

南京理工大学理学院

非线性光学思考题

1、什么叫非线性光学，它与线性光学有何异同？

非线性光学是研究强光（激光）与物质相互作用过程中出现的各种新现象和新效应。

极化响应过程 辐射过程

我们考察的是光与物质相互作用的过程，光进入物质中与物质相互作用，这就是上图中的极化响应过程，使得介质极化，之后光从物质中辐射出来，对应上图的辐射过程。

普通光入射介质，对应极化强度与入射光场的关系

其中，

ε为真空介电常数，χ为线性极化率

0

强激光入射介质（远离介质共振区），可以采用下面的级数形式表示

其中，?? 为线性极化率，? 和 ? 是二阶，三阶非线性极化率。对于各

(1)

(2)

(3)

向异性介质 ，??

(n)

为（n+1）阶张量，张量元一般为复数，实部对应介质的

折射率，虚部对应介质的吸收。

(1)(2)(3)

由非线性光学理论可以证明

(n?1)

(n)

at

原子内的平均电场强度的大小（～10-11 V/m）

??P ?P?P?P?P??P???E~?E

在强光作用下，E~E

原子

或E>>E

原子

，产生非线性效应，要满足这一条件就要

求较高的光强，所以非线性光学在激光诞生后才得到快速的发展。 此外，线性光学与非线性光学的区别： 在与物质相互作用中，物