最大线性无关组是唯一的吗

第十二讲 向量组的最大线性无关组

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．

考试要求

（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组； （2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；

（3）理解向量组等价的概念；

（4）了解内积的概念，了解规范正交基；

（5）了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；

（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．

注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．

二、知识要点

引入 当方程组Ax?o（Ax?b）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．

向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．

复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。

线性表示：??k1?1?k2?2???km?m，对k1,k2,?km没有要求，且

R(

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义 设向量组?1,?2,?,?m都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数

k1,k2km,使k1?1?k2?2?

读《尘世是唯一的天堂》有感

“既然大家都是动物，所以我们只有在正常的本能上，获取正常的满足，我们才能获得真正的满足。”第一段话就深深的吸引了我。“我们的生命总有一日会灭绝，这种省悟，使那些深爱人生的人，在感觉上添加了悲哀的诗意情调，而然这种悲情却反使中国学者更加热切深刻地要去领略人生的乐趣”。 中国的词典上大多这样说：“人生是指人的生存以及全部的生活经历”，而美国的教科书上却说，“人生就是人为了梦想和兴趣而展开的表演”。帕斯卡曾经指出：“人生的本质就在于运动，安谧宁静就是死亡”。有人认为：“人生就是人的生命活动和生命历程，它是人的生存和发展的过程，涉及到学习、工作、恋爱、友谊等广泛的生活领域，包含着欢乐与痛苦、幸福与悲伤、光明与黑暗、顺利与曲折、友善与敌意、美好与丑恶等丰富而具体的内容”。人生是什么？这是一个重大而又永恒的课题，对人生的讨论富含哲理性、深邃性，使之成为文学、影视作品的永恒主题。从生存的角度来讲，人生就是人们在其有限的一生之中，有目的的适应以及创造生活的全部过程；从生理的过程来看，人生是一个从生到死的生命过程；从选择的角度来说，人生就是一个由无数的选择所构成的生命轨迹！我想能在本文中找到答案的一角。

“犹如文中所描述的那句话一样

读《尘世是唯一的天堂》有感 “既然大家都是动物，所以我们只有在正常的本能上，获取正常的满足，我们才能获得真正的满足。”第一段话就深深的吸引了我。“我们的生命总有一日会灭绝，这种省悟，使那些深爱人生的人，在感觉上添加了悲哀的诗意情调，而然这种悲情却反使中国学者更加热切深刻地要去领略人生的乐趣”。 中国的词典上大多这样说：“人生是指人的生存以及全部的生活经历”，而美国的教科书上却说，“人生就是人为了梦想和兴趣而展开的表演”。帕斯卡曾经指出：“人生的本质就在于运动，安谧宁静就是死亡”。有人认为：“人生就是人的生命活动和生命历程，它是人的生存和发展的过程，涉及到学习、工作、恋爱、友谊等广泛的生活领域，包含着欢乐与痛苦、幸福与悲伤、光明与黑暗、顺利与曲折、友善与敌意、美好与丑恶等丰富而具体的内容”。人生是什么？这是一个重大而又永恒的课题，对人生的讨论富含哲理性、深邃性，使之成为文学、影视作品的永恒主题。从生存的角度来讲，人生就是人们在其有限的一生之中，有目的的适应以及创造生活的全部过程；从生理的过程来看，人生是一个从生到死的生命过程；从选择的角度来说，人生就是一个由无数的选择所构成的生命轨迹！我想能在本文中找到答案的一角。

“犹如文中所描述的那句话一样，

怕你白发催年老，怕我归期遥遥矣，怕来者是我去者是你。――题记

总是感慨岁月的飞逝，却从未想过，母亲，在我一天一天的成长中逐渐变老。在这个世上，还没有像她一样能包容我，鼓励我，给我力量的人。她的笑容，是我最想守护的珍宝。

今天上了什么课？跟妈说说。”明天想吃什么菜？妈给你烧。”她总是想一步步跟随我，走进新时代的生活。不愿跟着一群四十多岁的老阿姨们，在放着老歌的广场上跳舞。可是，她老了，年纪大了，渐渐地放慢了脚步。她终究没能跻身进入年轻人的生活。

有一天晚上，我出门买教辅资料。她叫住我，给了我一百块钱。茜茜，顺便帮我到东门那边的鞋店里买双皮鞋，我跟老板说好了的。”我有些疑惑：妈，您买皮鞋？您不是不喜欢穿皮鞋的吗？”她立马笑开了花：明天我要和你张阿姨李大妈去学广场舞，回来跳给你看，你帮我点评点评。”母亲终究还是成为了会拿着丝巾摆拍的70后老阿姨”。

她总是说，我是她唯一的骄傲。母亲不是爱炫作文耀的人，她从不会拿我去和其他人对比。你是最棒的。”这是她常对我说的一句话。她没有打过我，不是犯了什么大错，她也不会轻易骂我。一定要等到清楚了事情的原委，才会对我进行批评教育。

记得很久以

教学过程：

一、 复习导入，明确目标

1、通过上节课学习，大家对课文有了一些了解，相信大家能够经得起老师的考验。 课文主要写了一件什么事？这里的“唯一的听众”指的是谁？

2、上节课，同学们提出了很多问题，经过大家共同努力，解决了一些，谁还记得还大家共同努力，解决了一些，谁还记得还有什么问题没有解决？（课文写的是我从不会拉小提琴到能够参加各种演出，为什么要以《唯一的听众》为题？）

对于这个问题，我可不可以理解为大家认为文中的主人公是“我”，而不是那位老妇人呢？好，今天这节课我们就来探讨这个问题。 课件出示：你认为这篇课文的中心人物是谁？

【设计意图：这样导入，既检查了学生的听课状态，又培养了学生语言概括能力育语言表达能能力，同时拉近了课文与学生的距离。为下文学习奠定基础。】 二、 精读课文，解疑合究

1、请同学们再次走进课文，深入思考，看看看文中的主人公究竟是谁，说说理由。 2、研读。

这位唯一的听众，她不曾给过作者拉小提琴技巧的指导，也不曾给他讲解过拉琴的窍门。那么，她是怎么帮助作者的呢？用她的语言和神态，到底是什么神奇的语言和神态，这么的有魔力，能将一位音乐白痴变成小提琴能手？我们一起走进这位神秘的老人。 感悟一：老人的语言

师：用波浪线画

西南交大线性代数习题参考答案

2 第一章 行列式

§1 行列式的概念

1． 填空

(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。

(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。

(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，

其中每一项为行列式中位于不同行

不同列的 n 个元素的乘积，若将

每一项的各元素所在行标按自然顺

序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的

符号为 号；若为偶排列，该

项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a

a a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a

a a a a a 的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值

(1)

11222332330000a a a a a

3 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为

，所以行列式的值为 。

(2) 12,121,2

1,11,12,100000

0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L

篇一：唯一的听众的课文原文

唯一的听众的课文原文

[北师大版第十一册课文]

用父亲和妹妹的话来说，我在音乐方面简直是一个白痴。这是他们在经受了我数次“折磨”之后下的结论。我拉出的小夜曲，在他们听起来，就像是锯桌腿的声音。我感到十分沮丧。我不敢在家里练琴。我终于发现了一个绝妙的去处，楼区后面的小山上有一片树林，地上铺满了落叶。

一天早晨，我蹑手蹑脚地走出家门，心里充满了神圣感，仿佛要去干一件非常伟大的事情。林子里静极了。沙沙的脚步声，听起来像一曲悠悠的小令。我在一棵树下站好，庄重地架起小提琴，像参加一个隆重的仪式，拉响了第一支曲子。

尽管这里没有父亲的妹妹的评论，但我感到懊恼，因为我显然将那把“锯子”带到了林子里。我不由得诅咒自己：“我真是个白痴！”

当我感觉到身后有人而转过身时，我吓了一跳，一位极瘦极瘦的老妇人静静地坐在一张木椅上，双眼平静地望着我。我的脸顿时烧起来，心想，这么难听的声音一定破坏了这林中和谐的美，一定破坏了这位老人正独享的幽静。

我抱歉地冲老人笑了笑，准备溜走。老人叫住我，说：“是我打搅了你吗？小伙子。不过，我每天早晨都在这里坐一会儿。”有一束阳光透过叶缝照在她满头银丝上，“我猜想你一定拉得非常好，只可惜我的耳朵聋了。如果不介意我在场的话，

　　现在大家都在讲幸福。什么是幸福？我认为健康就是幸福！

　　有了健康并不等于有了一切，没有健康就等于没有了一切。健康就是一个空心的玻璃球，掉下去以后就碎了。而我们的工作就是一个皮球，掉下去以后还可以弹起来。

　　健康是单行线，每一个人都要认真对待。

　　养生从30岁左右就该开始。

　　健康第一是要活得长，第二是要活得好。

　　活得长不长，活得质量高不高，很大程度上取决于你自己对健康的看法，以及你自己生活的方式。现在的人年纪大了才会关注养生，其实为时已晚！

　　养生应该是30岁左右开始。

　　很多生活习惯是青年时候养成的，比如说抽烟喝酒，所以应该从青年时候就要养成好的生活方式，而不是中年老年时再考虑。

　　01、在健康问题上，你自己比老天爷管用

　　早上吃好，中午吃饱，晚上吃少。

　　现在的人相反了，早上马虎，中午对付，晚上大吃大喝，这就是百病之根。

　　早上这顿饭，等于吃补药，是最重要的一顿饭，一定要吃营养早餐。

　　主食必须要有蔬菜加水果，早餐营养不好，中午、晚上是补不回来的。

　　02、全世界最不好的习惯是抽烟

　　抽烟的人，气管炎，肺气肿，肺心病，最后肺癌，这是死亡三部曲。

　　03、营养过剩一样中毒

你知道吗？汽车安全与钢板厚度无关系！

气囊保护不容忽视

实际上，气囊首先要给系统注入新的能量，这是爆炸的过程，然后因为设计得非常巧妙，所以吸收处理自身的爆炸能量，再处理碰撞能量。气囊能否真正成为“安全”气囊完全在于设计的合理化程度，而不是说气囊越多就越安全。 气囊是非常重要的保护装置，但它是在系好安全带前提下才能发挥功效的安全辅助装置。在发生后面碰撞、侧面碰撞或翻滚时，驾驶席和助手席的气囊一般不会打开，而且如果不系好安全带，仅靠气囊是无法对乘员提供足够保护的。此外，气囊仅能作用一次，对连续碰撞事故时所发生的二次碰撞并不起作用。 在正常行驶时，丰田车上配置的安全带仅发挥较弱的弹簧张力，不会使乘员有过重的压迫感。不过，配备的预紧限力式安全带可在发生碰撞的瞬间收紧，有效固定乘员身体，同时当施加在安全带上的力度达到一定值时，又可将安全带放出，以缓和对胸部的压力。

车门的设计在车辆安全性能方面同样重要，一旦发生事故后，安全的车辆必须保证乘员能顺利逃生并便于救援。在前不久的丰田碰撞试验上，锐志在碰撞后，车门能够被顺利地打开，就是采用了便于乘员逃生和救援的防夹保护门。 安全与钢板厚薄无