选修2-1第三章空间向量与立体几何章框架图

选修2-1

第三章空间向量与立体几何教材分析

根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握空间向量与立体几何这部分内容的要求，首先需要明确整体定位。标准对空间向量与立体几何这部分内容的整体定位如下：

“用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力。”

一、内容与课程学习目标

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量。

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的

南雅中学2014年高二年级数学单元检测卷

(时间：120分钟，满分：150分)

班级： 学号： 姓名：

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．) 1．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b共线，则( )

111312

A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝

2262632．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是( )

A．6 B．5 C．4 D．3

3．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为( )

1

A．3 B．2 C．1 D.

24．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 →→→→→

5．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，

第三章 空间向量与立体几何

第1节 空间向量及其运算

（三）空间向量的运算

1. 掌握空间向量加减法平行四边形或三角形法则

两个向量的加减法有平行四边形法则和三角形法则，其实三角形法则是平行四边形法解析空间向量及其运算 （一）空间向量的概念

1.向量是既有大小又有方向的量。如果把研究范围扩大到空间中就形成了空间向量。 2.数学中所讨论的向量与起点无关，称之为自由向量。

3.过空间任意一点O作向量a ，

b的相等向量OA ,OB ,则 AOB叫做向量a ，

b的夹

角，记作 a , b ，且0 a ,

b 。

（二）空间向量与空间直线、平面

1. l是空间一直线，A,B是直线上任意两

点，则称 AB

是直线l的方向向量。

2. 如果直线l垂直于平面 ，那么直线l的

方向向量

n叫做平面 的法向量。求平面法

向量的一般步骤：

（1）设出平面的法向量

n (x,y,z)；

（2）求出该平面内两个不共线的向量的坐

标a (a

1,b1,c1)b (a2,b2,c2)；

（3）根据法向量的定义建立关于x,y,z的

方程组 n a 0 b 0

；

n（4）解方程组，取其中的一个解，即得法

向量。

3.在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面，则称这个向量

第三章 空间向量与立体几何

第1节 空间向量及其运算

（三）空间向量的运算

1. 掌握空间向量加减法平行四边形或三角形法则

两个向量的加减法有平行四边形法则和三角形法则，其实三角形法则是平行四边形法解析空间向量及其运算 （一）空间向量的概念

1.向量是既有大小又有方向的量。如果把研究范围扩大到空间中就形成了空间向量。 2.数学中所讨论的向量与起点无关，称之为自由向量。

3.过空间任意一点O作向量a ，

b的相等向量OA ,OB ,则 AOB叫做向量a ，

b的夹

角，记作 a , b ，且0 a ,

b 。

（二）空间向量与空间直线、平面

1. l是空间一直线，A,B是直线上任意两

点，则称 AB

是直线l的方向向量。

2. 如果直线l垂直于平面 ，那么直线l的

方向向量

n叫做平面 的法向量。求平面法

向量的一般步骤：

（1）设出平面的法向量

n (x,y,z)；

（2）求出该平面内两个不共线的向量的坐

标a (a

1,b1,c1)b (a2,b2,c2)；

（3）根据法向量的定义建立关于x,y,z的

方程组 n a 0 b 0

；

n（4）解方程组，取其中的一个解，即得法

向量。

3.在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面，则称这个向量

第三章 空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算（一）

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会 用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向

空间向量与立体几何

一、知识网络：

空间向量的加减运算 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空

2019-2020学年选修2-1第三章训练卷

空间向量与立体几何（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．点()121A -，，在x 轴上的射影和在xOy 平面上的射影的坐标分别为（ ） A ．()101-，，，()120-，， B ．()100-，，，()120-，， C ．()100-，，，()100-，， D ．()120-，，，()120-，，

【答案】B

【解析】在空间直角坐标系中，点在某坐标轴或坐标平面上的射影满足下列条件：与坐标轴或坐标平面对应的坐标不变，其他的坐标为0．故选B ． 2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（

个帅哥帅哥的ffff 3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系

学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．

知识点一 向量法判断线线垂直

设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直

43

2，，1?，平面α的法向量为μ2＝?3，2，?，则直线l思考 若直线l的方向向量为μ1＝?2??3??与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？

2

答案 垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直

3线l与平面α垂直．

判断直线与平面的位置关系的方法：

(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线?l⊥α.

(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α.

梳理 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R)．

《空间向量与立体几何》_导学案

南康二中 高二数学◆选修2-1◆导学案

.

1

试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求 a b, a

b.

.b2. 点C在线段AB上，且AC 5, CB2则

AC AB

, BC AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？

⑴加法交换律：A. + B. = B. + a； ⑵加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)； ⑶数乘分配律：λ(A. + b) =λA. +λb． ※ 典型例题 例1 已知平行六面体ABCD A'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：⑴ AB

⑵ BCAB AD ；

AA

'；⑶ AB AD 1 CC '

⑷12

( AB

AD 2

AA ')．

变式：在上图中，用 AB , AD , AA'表示 AC' , BD '

和 DB '.

小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时

3.2 立体几何中的向量方法（1）空间向量与平行关系

学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.

知识点一 直线的方向向量与平面的法向量

思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用→→

向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.

(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.

→→

②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP＝tAB，此方程称为直线的向量参数方程. (3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点

P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP＝xa＋yb.

②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示. 梳理 (1)用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量) →

→→形式 在直线l上取→AB＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP＝tAB