matlab绘制系统根轨迹

利用Matlab绘制系统的根轨迹

本章前面的内容介绍了控制系统根轨迹的绘制以及利用系统大致的根轨迹图分析系统性能的方法，若要由根轨迹获得系统在某一特定参数下准确的性能指标或者准确的闭环极点，需要依据幅值条件精确地作图。如果利用MATLAB工具箱中函数，则可方便、准确地作出根轨迹图，并利用图对系统进行分析。

MATLAB工具箱中，求系统根轨迹的几个常用函数有rlocus, rlocfind, sgrid，下面通过具体的例子来说明这些函数的应用。

例4-13 控制系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=

绘制系统的根轨迹图。

解 利用函数rlocus函数可直接作出系统的根轨迹图，程序如下： % example4-13 % num=[1,5];

dun=[1,6,11,6,0]; rlocus(num,dun) 执行该程序后，可得到如图4-20所示的根轨迹。

图4-20 例4-13题根轨迹图

利用函数rolcus可画出系统的根轨迹图后，可用rlocfind函数在根轨迹上选择任意极点，得到相应的开环增益 和其它闭环极点。

例4-14 控制系统

实验报告

实验名称 线性系统的根轨迹

一、实验目的

1.熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2.利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。 3.掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4.掌握系统参数变化对特征根位置的影响。

二、实验内容

1．请绘制下面系统的根轨迹曲线

G(s)?K 22s(s?2s?2)(s?6s?13)G(s)?K(s?12)

(s?1)(s2?12s?100)(s?10)G(s)?K(0.05s?1) 2s(0.0714s?1)(0.012s?0.1s?1)同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。

2. 在系统设计工具rltool界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。

三、实验结果及分析

1．请绘制下面系统的根轨迹曲线

G(s)?K

s(s2?2s?2)(s2?6s?13)G(s)?K(s?12) 2(s?1)(s?12s?100)(s?10)G(s)?K(0.05s?1) 2s(0.0714s?1)(0.012s?0.1s?1)同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。

自动控制原理

4-2 根轨迹的绘制法则

烟台大学光电信息学院

自动控制原理

绘制根轨迹的条件：

G(s)H(s)=-1即：K *

——根轨迹方程—幅值条件

| (s z ) | | (s p ) |i 1 i n j i 1 j 1 n j

m

1

(s z ) (s p ) (2k 1) j 1 i

m

—相角条件

(k 0,1, 2 )

幅值条件为充分条件，用于确定K*的值； 相角条件为充要条件，用于绘制根轨迹。

自动控制原理

4.2.1 常规根轨迹的绘制法则(180°根轨迹) 法则1:根轨迹起始于开环极点，终止于开环零 点。一般在实际系统中，开环传函分子多 项式次数m与分母多项式次数n满足： m≤n,所以有n-m条根轨迹终止于无穷 n 远处。 s p证明：由幅值条件

K*

i 1 m

i

当 K 0 时，只有 s pi 才能满足以上幅值条件， 故根轨迹必从开环极点 pi出发。*

j 1

s zj

当 K 时，只有 s z j或 (n≥m时)才能满 s 足以上幅值条件，故根轨迹必终止于开环零点 或 无穷远处。*

自动控制原理

法则2:根轨迹的分支数等于max{m,n},且

实验五 基于MATLAB控制系统的根轨迹及其性能分析 一、实验目的

1、熟练掌握使用MATLAB绘制控制系统零极点图和根轨迹图的方法。 2、学会分析控制系统根轨迹的一般规律。 3、利用根轨迹图进行系统性能分析。 4、研究闭环零、极点对系统性能的影响。

二、实验原理

1、根轨迹与稳定性

当系统开环增益从变化时，若根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，那么系统对所有的K值都是稳定的；若根轨迹越过虚轴进入s右半平面，那么根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。应用根轨迹法，可以迅速确定系统在某一开环增益或某一参数下的闭环零、极点位置，从而得到相应的闭环传递函数。 2、根轨迹与系统性能的定性分析

1）稳定性。如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定性只与闭环极点的位置有关，而与闭环零点位置无关。

2）运动形式。如果闭环系统无零点，且闭环极点为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。

3）超调量。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。

4）调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值；如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有

山东大学 自动控制理论课件

第五章 根 轨 迹 法反馈控制系统的全部性质, 反馈控制系统的全部性质,取决于系统的闭 环传递函数。闭环传递函数的分子一般是s 环传递函数。闭环传递函数的分子一般是 的低 阶多项式，闭环零点容易求得。对高阶系统， 阶多项式，闭环零点容易求得。对高阶系统，用 解析法求闭环极点是比较困难的。 解析法求闭环极点是比较困难的。 1948年 W.R.Evans提出了 1948年，W.R.Evans提出了直接由开环传递函 提出了直接由开环传递函 数确定系统闭环特征根的图解法-根轨迹法。 数确定系统闭环特征根的图解法-根轨迹法。利 用这一方法可以分析系统的性能， 用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应有 的结构和参数。 的结构和参数。 根轨迹法的基础是系统的传递函数， 根轨迹法的基础是系统的传递函数，这一 方法仅使用于线性系统。 方法仅使用于线性系统。

山东大学 自动控制理论课件

§5-1 根轨迹的基本概念一.根轨迹(The Root Locus) 根轨迹是开环系统某一参数由零变化到无穷大时， 是开环系统某一参数由零变化到无穷大时， 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。

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第五章 根 轨 迹 法反馈控制系统的全部性质, 反馈控制系统的全部性质,取决于系统的闭 环传递函数。闭环传递函数的分子一般是s 环传递函数。闭环传递函数的分子一般是 的低 阶多项式，闭环零点容易求得。对高阶系统， 阶多项式，闭环零点容易求得。对高阶系统，用 解析法求闭环极点是比较困难的。 解析法求闭环极点是比较困难的。 1948年 W.R.Evans提出了 1948年，W.R.Evans提出了直接由开环传递函 提出了直接由开环传递函 数确定系统闭环特征根的图解法-根轨迹法。 数确定系统闭环特征根的图解法-根轨迹法。利 用这一方法可以分析系统的性能， 用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应有 的结构和参数。 的结构和参数。 根轨迹法的基础是系统的传递函数， 根轨迹法的基础是系统的传递函数，这一 方法仅使用于线性系统。 方法仅使用于线性系统。

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§5-1 根轨迹的基本概念一.根轨迹(The Root Locus) 根轨迹是开环系统某一参数由零变化到无穷大时， 是开环系统某一参数由零变化到无穷大时， 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。

4.4 利用根轨迹分析系统性能

利用根轨迹，可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势，在给定该参数值时可以确定相应的闭环极点，再加上闭环零点，可得到相应零、极点形式的闭环传递函数。本节讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，同时分析附加开环零、极点对根轨迹及系统性能的影响。

4.4.1 利用闭环主导极点估算系统的性能指标

如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，就可以忽略非主导极点及偶极子的影响，把高阶系统简化为阶数较低的系统，近似估算系统性能指标。

例4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)=

K

s(s+1)(0.5s+1)

试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益K的范围，并计算阻尼比ξ=0.5的

K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。

解 将开环传递函数写成零、极点形式，得

2KK*

G(s)==

s(s+1)(s+2)s(s+1)(s+2）

式中，K*=2K为根轨迹增益。

系统有三条根轨迹分支，均趋向于无穷远处； ⑴ 实轴上的根轨迹区段为：( ∞, 2]，[ 1,0]；

1 2 σ== 1 a3

⑵ 渐近线：

=(2k+1)π=±π,πa 33

⑶ 分离点：

4.4 利用根轨迹分析系统性能

利用根轨迹，可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势，在给定该参数值时可以确定相应的闭环极点，再加上闭环零点，可得到相应零、极点形式的闭环传递函数。本节讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，同时分析附加开环零、极点对根轨迹及系统性能的影响。

4.4.1 利用闭环主导极点估算系统的性能指标

如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，就可以忽略非主导极点及偶极子的影响，把高阶系统简化为阶数较低的系统，近似估算系统性能指标。

例4-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)=

K

s(s+1)(0.5s+1)

试用根轨迹法确定系统在稳定欠阻尼状态下的开环增益K的范围，并计算阻尼比ξ=0.5的

K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。

解 将开环传递函数写成零、极点形式，得

2KK*

G(s)==

s(s+1)(s+2)s(s+1)(s+2）

式中，K*=2K为根轨迹增益。

系统有三条根轨迹分支，均趋向于无穷远处； ⑴ 实轴上的根轨迹区段为：( ∞, 2]，[ 1,0]；

1 2 σ== 1 a3

⑵ 渐近线：

=(2k+1)π=±π,πa 33

⑶ 分离点：

目录

目录................................................................................................................................. 1 1课题概述 ....................................................................................................................... 3

1.1课设目的 ............................................................................................................. 3 1.2根轨迹法超前校正 ............................................................................................... 3 1.3 Matlab简介......................

实验4 控制系统的根轨迹作图

一、实验目的

1.利用计算机完成控制系统的根轨迹作图； 2.了解控制系统根轨迹图的一般规律 3.利用根轨迹进行系统分析。 二、实验步骤

1.在Windows界面上用鼠标双击matlab图标，即可打开MATLAB命令平台。 2.练习相关M函数 根轨迹作图函数： rlocus(sys) rlocus(sys,k) r=rlocus(sys) [r,k]=rlocus(sys)

函数功能：绘制系统根轨迹图或者计算绘图变量。 格式1：控制系统的结构图如图所示。

输入变量sys为LTI模型对象，k为机器自适应产生的从0→∞的增益向量， 绘制闭环系统的根轨迹图。

格式2：k为人工给定的增益向量。

格式3：返回变量格式，不作图。R为返回的闭环根向量。 格式4：返回变量r为根向量，k为增益向量，不作图。 更详细的命令说明，可键入“help rlocus”在线帮助查阅。 例如：系统开环传递函数为G(s)?根轨迹作图程序为

k=1; %零极点模型的增益值 z=[]; %零点 p=[0,-1,-2]; %极点 sys=zpk(z,p,k);

rlocus