最优化数学模型的求解方法

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MATLAB在最优化模型求解中的应用

摘要 最优化模型是较常见的数学模型，本文介绍了MATLAB软件在求解最优化模型方面的几点应用，给出了几种解决优化模型的函数格式和范例 关键词 最优化模型;MATLAB;命令 1 前言

优化问题，一般是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源，即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或者利润最大。最优化模型就是根据优化问题的具体情况建立的数学模型。求解此类模型，一方面需要具有较好的数学知识和较强的计算机编程能力，另一方面，也可以利用成熟的算法求解。本文将介绍MATLAB在最优化模型求解中的几个应用。

2 利用MATLAB的优化工具箱求解最优化模型

MATLAB是Mathworks公司推出的一套功能强大的工程计算及数值分析软件, 目前它已经成为世界上应用最广泛的工程计算软件之一。其优化工具箱的应用包括: 线性、非线性最小化、方程求解、曲线拟合、二次规划等中大型课题的求解方法, 为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便、快捷的途径。 2.1求解线性规划模型

利用MATLAB软件求解线性模型：

minz?cX

AX?b??s.t.?Aeq?X?beq ?vlb?X?vub?可使

数学模型建立与求解

一、问题的提出：

某家公司专门经营商品的批发业务，公司有库存5000单位的仓库，一月一日，公司有库存1000单位，并有资金30000元，估计上半年的商品价格如下表所示：

一月 二月 三月 四月 五月 六月 进货价（元） 2.80 2.95 2.90 2.75 2.85 3.00 出货价（元） 3.10 3.15 3.00 2.90 3.10 3.05 如果买进的商品当月到货，但需要到下月才能卖出，且规定货到付款，公司希望这半年末的库存为1500单位。问应采取什么样的买进策略才能使这半年的获利最大？ 二、模型建立：

①确定决策变量：xi为每月买进的商品，yi为每月卖出的商品。

②确定约束条件：因为买进的商品当月到货，但需要下月才能卖出，而每月卖出的应小于每月的买进量，故有：

y1?1000； y2?1000?y1?x1；

y3?1000?y1?x1?y2?x2； y4?1000?y1?x1?y2?x2?y3?x3；

y5?1000?y1?x1?y2?x2?y3?x3?y4?x4；

临沂大学建筑学院房地产系

最优回归模型的求解步骤

在回归分析中，当自变量较多时，建立起来的回归方程会存在某些自变量不显著的问题，也就是说并不是所有的自变量都适合引入到回归方程中去，我们建立回归方程的最理想标准是：显著的自变量都在回归方程里，不显著的都不能引入。在现实生活和科学研究中有大量的事例需要建立最优回归模型，通常最优回归模型用逐步回归分析来实现。逐步回归分析尽管结构严谨思路清晰，但是计算过程极为繁琐，在有了统计分析软件SPSS、SAS、Minitab等的协助下，目前逐步回归分析已经较少使用，应用各种统计分析软件可以迅速地建立起最优回归模型。

现在以气象学上一个著名的例子来详细演示建立最优模型的步骤，数据在“台风分析.sav”的文件里，各个变量的实际意义是：

X1：暴雨中心当日08时70kPa位面的上升速度（干绝热过程）；

X2：台风中心达到125°E时，离中心15个纬距范围内海面上气温平均值； X3：50kPa08时和20时环流指数的平均值；

X4：暴雨中心5个纬距范围内70kPa位面平均24h变高； X5：暴雨中心5个纬距范围内50kPa位面平均24h变温；

X6：暴雨当日08时70kPa位面佳木斯、哈尔滨、长春、延吉的温度与露点

差的

临沂大学建筑学院房地产系

最优回归模型的求解步骤

在回归分析中，当自变量较多时，建立起来的回归方程会存在某些自变量不显著的问题，也就是说并不是所有的自变量都适合引入到回归方程中去，我们建立回归方程的最理想标准是：显著的自变量都在回归方程里，不显著的都不能引入。在现实生活和科学研究中有大量的事例需要建立最优回归模型，通常最优回归模型用逐步回归分析来实现。逐步回归分析尽管结构严谨思路清晰，但是计算过程极为繁琐，在有了统计分析软件SPSS、SAS、Minitab等的协助下，目前逐步回归分析已经较少使用，应用各种统计分析软件可以迅速地建立起最优回归模型。

现在以气象学上一个著名的例子来详细演示建立最优模型的步骤，数据在“台风分析.sav”的文件里，各个变量的实际意义是：

X1：暴雨中心当日08时70kPa位面的上升速度（干绝热过程）；

X2：台风中心达到125°E时，离中心15个纬距范围内海面上气温平均值； X3：50kPa08时和20时环流指数的平均值；

X4：暴雨中心5个纬距范围内70kPa位面平均24h变高； X5：暴雨中心5个纬距范围内50kPa位面平均24h变温；

X6：暴雨当日08时70kPa位面佳木斯、哈尔滨、长春、延吉的温度与露点

差的

第六章 最优化问题数学模型

§1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题

在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大

值最小值问题。

最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；

②求出取得极值时变量的取值。

最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的

关键因素：变量，约束条件和目标函数。

（2）变量

变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般

来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。

设问题中涉及的变量为x1,x2,?,xn；我们常常也用X?(x1,x2,?,xn)表示。 （3）约束条件

在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，

铺路问题的最优化模型

摘 要

本文采用了两种方法，一种是非线性规划从而得出最优解，另一种是将连续问题离散化利用计算机穷举取最优的方法。

根据A地与B地之间的不同地质有不同造价的特点，建立了非线性规划模型和穷举取最优解的模型，解决了管线铺设路线花费最小的难题。

问题一：在本问题中，我们首先利用非线性规划模型求解，我们用迭代法求出极小值（用Matlab实现），计算结果为总费用最小为748.6244万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.6786km，3.1827 km，2.1839 km，5.8887km，13.0661km。然后，我们又用穷举法另外建立了一个模型，采用C语言实现，所得最优解为最小花费为748.625602万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.70km,3.20km,2.20km,5.90km,13.00km。

问题二：本问题加进了一个非线性的约束条件来使转弯处的角度至少为160度，模型二也是如此。非线性规划模型所得计算结果为最小花费为750.6084万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.4566km,4.3591km,2.5984km,6.5387km,12.0472km

多目标优化的求解方法

多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下：

多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法：

（1）评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。

（2）交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。

（3）分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。

而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。

1)物资调运

多目标优化的求解方法

多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下：

多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法：

（1）评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。

（2）交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。

（3）分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。

而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。

1)物资调运

实用标准文案

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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2010--2011学年第 1 学期 考试科目： 运筹学与最优化方法 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业

一、 用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）

12121212max 105349

..528,0z x x x x s t x x x x =++≤??

+≤??≥?

2

二、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分） 12

121212

max 62..33

,0z x x x x s t x x x x =++≥??+≤??≥?

实用标准文案

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三、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分）

12345

123451345124512345max 3252324

73438..116333

,,,,01

z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤??-+-≥??=?或

四、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分）

22

121122

121212max ()1

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？

【问题提出】

日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释． 【模型假设】

为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的． 【建立模型】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．