历年解析几何高考真题

解析几何高考复习

一、抛物线

1、已知抛物线C:y?4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点。（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程； （II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得

2、已知抛物线C：y?mx（m?0），焦点为F，直线2x?y?2?0 交抛物线C于A、 （1）若抛物线C B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值； （2）是否存在实数m，使?ABQ 是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

3、知F为抛物线y?2px?p?0?的焦点，抛物线上点G的横坐标为2，且满足GF?3

22211恒为定值。 ?22|AM||BM|（1）求抛物线的方程；（2）点M?2,0?的坐标为，过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于

A,B两点。A,B两点的横坐标不为2。连接AM,BM并延长交抛物线于C,D两点，设直线CD的斜率为k2，判断

k1是否作为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。 k2DAOFBMC4、如图，已知抛物线C：

高考文科解析几何专题

解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

【重要知识点】

1.两条相交直线l1与l2的夹角：是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角?，又称为l1k2?k1??????900,tan??和l2所成的角，它的取值范围是?，当，则有。 ?2?1?kk??12?l1:A1x?B1y?C1?0的交点的直线系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?l:Ax?By?C?022?222.过两直线?为参数，A2x?B2y?C2?0不包括在内）。

3.设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有d?Ax0?By0?CA?B22.

4.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2 5.两直线l1:y1?k1x1?b1,l2:y2?k2x2?b2的位置关

(2015) 已知椭圆

的左焦点为，离心率为，点

在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，

。

（Ⅰ）求直线

的斜率；

（Ⅱ）求椭圆的方程； （Ⅲ）设动点

在椭圆上，若直线

的斜率大于

，求直线

（

为原点）

的斜率的取值范围。

(2014) 设椭圆+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，

上顶点为B，已知|AB|=

|F1F2|．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

(2013) 设椭圆x2y2ab?b?0)的左焦点为F, 离心率为32?2?1(a3, 过点F且与x

轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D

两点. 若???AC?·???DB?????AD?·???CB??8, 求k的值.

（本小题满分14分）设椭圆x2a+y2(2012)2b2=1(a>b>0)的

x2y23?1(a?2)的离心率为1.（2013年卓越联盟第10题）设椭圆2?，斜率为k的直

a43线l过点E(0,1)且与椭圆交予C,D两点

（I）求椭圆方程；

（II）若直线l与x轴相交于点G，且GC?DE，求k的值；

（III）设A为椭圆的下顶点，kAC,kAD分别为直线AC,AD的斜率，证明对任意的k，恒有kAC?kAD??2.

c2a2?412x2y2?,a?6，椭圆方程??1； 解答：（1）2?2aa364（2）本问直接处理GC?DE运算量大，用CD,GE的中点重合简单.

y?kx?1?22,(2?3k)x?6kx?9?0， ?22?2x?3y?12?0?3k16'CD中点x0?GE;kx?1?0x??，中点，由中点重合得； k??02?3k22k3（3）设C?x1,y1?,D?x2,y2?,A?0,?2?, kACkADy1?2y2?2kx1?3kx2?3k2x1x2?3k(x1?x2)?9???????2得证.

x1x2x1x2x1x22. （2013年华约第3题）3 已知k?0，从直线y?kx和y??kx上分别选取点满足OAOB?1?k2，其中O为坐标原点，AB中点MA(xA,yA),B(xB,yB)，xAxB?0，的轨迹为曲

第一部分 五年高考文科荟萃

2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题

x2y2?2?1(a?b?0)2ab1（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?x轴， 直????????y线AB交轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（D ） 1132A．2 B．2 C．3 D．2 1????????OA?2OF,?a?2c,?e?2 【解析】对于椭圆，因为AP?2PB，则

2y?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)l2.(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线

的面积为4,则抛物线方程为( ).

2222y?4xy??4xy??8xy?8x A. B. C. D.

aay?2(x?)(,0)2yy?ax(a?0)l44【解析】 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为a1aa(0,?)||?||?42y??8x,故选B. a??82242A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为

【答案】

1. 有如下结论：“圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)处的切线方程为

22xyx0y?y0y?r2”，类比也有结论：“椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切

abx0xy0yx2?y2?1的右准线l上任意一点M引椭圆C的 线方程为2?2?1”，过椭圆C：4ab两条切线，切点为 A、B.

（1）求证：直线AB恒过一定点；

（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积

x1x43,t)(t?R),A(x1,y1),B(x2,y2),则MA的方程为?y1y?1 1.解：（1）设M(343x1?ty1?1 ①……………………3分 ∵点M在MA上∴33x2?ty2?1②…………………………5分 同理可得33x?ty?1,即x?3(1?ty)…………6分 由①②知AB的方程为3易知右焦点F（

3,0）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（3,0）……8分

x2?y2?1,化简得7y?6y?1?0 （2）把AB的方程x?3(1?y)代入436?2816?……………………12分 ∴|AB|?1?3?7743|3?23

又M到AB的距离d?31?3|∴△ABM的面积S?1163?|AB|?d?……………………15分 2211

aax

- 1 - 解析几何

H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

21．B12，H1[20132新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 2e －x .

(1)求f(x)的极小值和极大值；

(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．

21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．

f ′(x)＝－e －x x(x －2)．①

当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；

当x∈(0，2)时，f′(x)>0.

所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．

故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大

值为f(2)＝4e －2.

(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为

y ＝f′(t)(x－t)＋f(t)．

所以l 在x 轴上的截距为

m(t)＝t －f （t ）f′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2

＋3. 由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．

令h(x)＝x ＋2x

(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 2，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．

所以当t∈(－∞，0)∪

- 1 - 解析几何

H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

20．H1，H5，H8[20132新课标全国卷Ⅱ] 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12

. (1)求M 的方程；

(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．

20．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则

x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22

b 2＝1. y 2－y 1x 2－x 1

＝－1. 由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1

＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12

， 所以a 2＝2b 2.

又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.

因此a 2＝6，b 2＝3.

所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由?????x ＋y －3＝0，

x 26＋y 23

＝1， 解得?????x ＝4 33，y ＝－33

或???x ＝0

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2006年10月重印版）

课程编号 22143102

课程名称 解析几何

课程类别 专业必修

教材名称 解析几何

制 订 人 汤建良

审 核 人 刘则毅

2005年 4 月修订

- 1 -

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质 1．课程类别：专业必修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（应用数学方向） 3．开设学期：第壹学期 4．学时安排：周学时3，总学时42 5．学分分配：3学分 （二）开设目的 解析几何是中学几何的继续与发展，既有深刻的数学理论意义，也有广泛的实际应用价值。在实际工程中的许多重要领域都有它的应用价值。通过本课程的学习，同学们还可以加深对中学三角和几何学的认识与理解，有助于解决一些初等数学问题。解析几何的一些思想方法在数学中具有普遍性。通过本课程的学习，能使学生提高数学素养，并为学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 （三）基本要求 掌握解析几何的基本理论与方法，深刻理解解

2017年高考真题分类汇编（理数）：专题5 解析几何

13、（2017·天津）设椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物

2

线y=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为

，求直线AP的方程．

14、（2017?北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分） (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点．

15、（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：点P满足

=

．

+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，

（Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且

?

=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

=1（a＞b＞0）的离心率为

，焦距为

16、（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2．（14分）

（Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，