判断反常积分的收敛性

学号： 本 科 生 毕 业 论 文

论 文作 院 专 班 指 导题 目： 者： 系：业：级：教 师：

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

2015 年 5 月 17 日

I

NO.： Huanggang Normal University

Thesis Graduates

Topic ：

Author ：

College ： Specialty ：

Class ：

Tutor

：

May 17th, 2015

郑重声明

本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明

关于瑕积分收敛的判断

课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。由这一推论可以看出：推论是根据 x?a? （视具体情况亦可是 x?b?）时无穷大量 f?x? 相对于无穷大量

1? 的阶来判断。因为：lim??x?af?x??d 等价于

x?a?x?ax?alim?f?x?1?d ，当 0?d??? 时，无穷大量 f?x? 与无穷大量 是同?1?x?a???x?a?1 ，无穷大量 f?x? 的阶是 ? ），由于例3 （课x?a1本下册p.280），相对于无穷大量 ，无穷大量 f?x? 的阶 ??1 时瑕积分

x?a阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量

?baf?x?dx 收敛，阶??1 时瑕积分

?f?x?dx 发散。当然，由于存在不可比较的无

ab穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：

?例1． 判别瑕积分

?20d? 的敛散性（课本下册p.289：2（6））

1?sin?解：由于lim????2?1???，点 ?? 是其瑕点。又由于（注1）

21?sin????1?sin??1?cos??????2?

?2sin2??2 ，

?lim????22????1 ，当 ????2??2 时，相对于无穷大

题 目 含参量反常积分一致收敛的判别法

学生姓名 学 号 系 别 数学系 年 级 2010级 专 业 数学与应用数学 指导教师 职 称 完成日期

1

摘 要

含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。 关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法

2

Abstract

Improper integral with variable

正项级数收敛性的判别法

姓名：王浩 学号：200825020437 指导老师：汪会玲 摘要：

关键字：正项级数 收敛性 判别法

一、前言

二、判别法 （一）充要条件

定理1：正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界。即存在某正M，对一切自然数n有S

定理2：设和是两个正项级数，如果存在某正整数N，对一切都有那么

（1）若级数# 收敛，则级数 #也收敛 （2）若级数# 发散，则级数 #也发散 （三）比较判别法的极限形式 定理3：设 和 是两个正项级数，若 则 （1） （2） （3）

(四）比式判别法（达朗贝尔判别法）

定理4：设#为正项级数，且存在个自然数N及常数 (1)若对一切成立不等式 则级数收敛

(2)若对一切成立不等式 则级数收敛

(五)比式判别法的极限形式 定理5：若为正项级数，且 则

（1）当时，级数收敛 （2）当或时级数发散

（六）柯西判别法（根式判别法）

定理6：设为正项级数，且存在某正整数及常数 （1）若对一切，成立不等式

则级数收敛

（2）对一切成立不等式

则级数发散

（七）柯西判别法的极限形式 定理7：设为正项级数，且 则

（1）当时级数收敛 （2）当时级数发散 （八）积分判别法

定理8

黄冈师范学院本科生毕业论文

本 论 文科 题 目：

毕 业 论 文

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

生

NO.：201121140403 Huanggang Normal University

Topic Author College Specialty Class Tutor

Thesis Graduates

Discuss Improper Integrals and Infinite Series Converges Relations

CHEN Gan

College of Mathematics and Physics Mathematics and Applied Mathematics 201104 HE Chunling

： ：：：：

：

May 17th

随机过程 方兆本

§1.3 收敛性定义1.7 设{Xn, n ≥1}是一列随机变量,若存在随机 定义 变量X,使对 ε>0,有n →∞

lim P (| X n X |≥ ε ) = 0

则称随机变量序列{Xn, n ≥1}依概率收敛 依概率收敛于X, 依概率收敛 记为 X n p X . → 如果{ω : lim ( X n (ω ) X (ω )) = 0} 的概率为1,即:n→∞

P( lim ( X n X ) = 0) = 1n →∞

则称随机变量序列{Xn, n ≥1}几乎必然收敛 几乎必然收敛于 几乎必然收敛 X,记为 X n → X , a.s. .

随机过程 方兆本

定义1.8 设随机变量X和Xn, n ≥1, 都有有限的二阶 定义 矩,如果n →∞

lim E ( X n X ) 2 = 0

则称随机变量序列{Xn, n ≥1}均方收敛 均方收敛于X, 均方收敛 记为X n L X . →2

三种收敛的关系 三种收敛的关系: ① 几乎必然收敛 ② 均方收敛 ③ 几乎必然收敛 依概率收敛 依概率收敛 均方收敛

随机过程 方兆本

例1.11 在Bernoulli试验中, 设每次试验成功的概率 为p, 若以S

第三节 函数项级数的一致收敛性

本节将讨论函数项级数有关性质。

定义 1 设 u1(x)，u2(x)，……，un(x)，……，是集合E上的函数列，我们称形为

u1(x)+u2(x)+……+un(x)+……

为E上的函数项级数，简记为

?un?1?n(x) 。其中un(x)称为第n项.

?uk(x)+uk?1(x)+……+un(x)+……也记为?un(x). 记号中n可以用其它字母代之.

n?k 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设

?un?1?n(x)是集合E上的函数项级数，记

nSn(x)??ui(x)=u1(x)+u2(x)+……+un(x)，

i?1它称为级数

?un?1?n(x)的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. ?Sn(x)?称为

?un?1?n(x)的部分和函数列。

?如果?Sn(x)?在x0点收敛，我们也说

???un?1n(x)在x0点收敛或称x0为该级数的收敛点。

如果

?|un?1n(x)|在x0点收敛，我们称?un(x)在x0点绝对收敛。非常容易证明绝对收敛一

n?1定收敛。

?Sn(x)?的收敛域也称为该级数的收敛域。如果?Sn(x)?在x0点不收敛，我们说

?un?1?n(x)在x0点

函数项级数一致收敛性的判别法

摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易.

关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1

Function Seies Convergence Criterion

Abstract：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the s

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一、问题的提出问题:有 限个连 续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和.对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？

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例1 考察函数项级数x (x x) (x x ) (x x2 3 2 n n 1

)

和函数的连续性. 解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，n

且 sn ( x ) x ,

得和函数：0 x 1, x 1.

0, s ( x ) lim s n ( x ) n 1,和函数 s ( x ) 在 x 1 处间断 .

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结论 函 数 项 级 数 的 每 一 项 在 [ a , b ] 上 连 续 ， 并 且级 数 在 [a , b ] 上 收 敛 ， 其 和 函 数 不 一 定 在[a , b ] 上 收敛 .同样函 数项 级数的 每一 项

BP神经网络的改进方法及具体措施

第24卷　第1期Vo124No1重　庆　交　通　学　院　学　报

JOURNALOFCHONGQINGJIAOTONGUNIVERSITY

2005年2月Feb.,2005

BP神经网络收敛性问题的改进措施

贺清碧,　周建丽

(重庆交通学院计算机及信息工程学院,重庆400074)

Ξ

摘要:BP算法现在已成为目前应用最广泛的神经网络学习算法,它在函数逼近、模式识别、分类、数据压缩等领域有着更加广泛的应用,但存在收敛较慢问题.笔者在文中简述了BP算法原理,针对BP算法的收敛性问题,提出了几点改进措施.

关　键　词:BP神经网络;BP算法;收敛性

中图分类号:TP183　　文献标识码:A　　文章编号:10012716X()203

　　权值连接而成.存储、,力.,BP算法是神经网络众多算法中应用最为广泛的一种,它在函数逼近、模式识别、分类、数据压缩等领域有着更加广泛的应用.其结构简单,可操作性强,能模拟任意的非线性输入输出关系.据统计有近90%的神经网络应用是基于BP算法的.但它存在学习收敛速度慢、容易陷入局部极小点而无法得到全局最优解、且对初始权值的选取很敏感等缺点.基本的BP算法应用于大多数实际问题时都显示太慢,训练将花去数天甚至数星