三角形外角平分线定理证明方法
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三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题1如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则<D=90^o+1/2<A证明如图1,<1=<1’,<2=<2’,2<1+2<2+<A=180^。.<l+<2+<D=180^。.
2 8
中。擞 ( 1年 0初中 ) 7 7 2 1第1期 版 0
解题研究
三角形内外角平分线有关命题韵证明及应用4 1 2湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学张昌林 4 13在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题 1如图 1点 D是, AA C两个内角平分线的交 B点,a¥l ̄o=9。 0十l E A.
=9 0。一1 Z.
A.
点评
利用角平分线的定义和三角形的一个外角
等于与它不相邻两内角的和以及三角形的内角和等于10,以证明. 8。可命题 3如图 3, E是点
AA C一个内角平分线与一 B个外角平分线的交点,则 EC D
证明‘.’
如图 1,1= 1 2= 2,,
1 A=.
A.
图3
.
.
2 1+2 2+/
=1 0, 8。
(
1 2+LD=10.+ 8。 ①一得②
②
证明‘ .
如图 3,1= L
角平分线与等腰三角形
难舍难分的角平分线与等腰三角形
角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中,遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线,遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。
一、 角平分线+平行线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和平行线时,我们就可以寻找到等腰三角形。如图1(1)中,若AD平分,AD//EC,则是等腰三角形;如图1(2)中,若AD平分,DE//AC,则是等腰三角形;如图1(3)中,若AD平分,CE//AB,则是等腰三角形;如图1(4)中,若AD平分,EF//AD,则是等腰三角形。
图1
例1. 如图2,在中,AB=AC,在AC上取点P,过点P作线于点E,垂足为点F。求证:AE=AP
,交BA的延长
图2
简析:要证AE=AP,可寻找一条角平分线与EF平行,于是想到AB=AC,则可以作AD平分,此时。而,故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE=AP。
例2. 如图3,在中,、的平分线相交于点O,过点O作DE//AC,分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系,并说明你的理由。
图3
简析:猜想:AD+CE=DE。理由如下:由于OA、OC分别是DE//AC,所以
和
。
训练题:如图4,在
中,AD平
角平分线与等腰三角形
难舍难分的角平分线与等腰三角形
角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中,遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线,遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。
一、 角平分线+平行线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和平行线时,我们就可以寻找到等腰三角形。如图1(1)中,若AD平分,AD//EC,则是等腰三角形;如图1(2)中,若AD平分,DE//AC,则是等腰三角形;如图1(3)中,若AD平分,CE//AB,则是等腰三角形;如图1(4)中,若AD平分,EF//AD,则是等腰三角形。
图1
例1. 如图2,在中,AB=AC,在AC上取点P,过点P作线于点E,垂足为点F。求证:AE=AP
,交BA的延长
图2
简析:要证AE=AP,可寻找一条角平分线与EF平行,于是想到AB=AC,则可以作AD平分,此时。而,故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE=AP。
例2. 如图3,在中,、的平分线相交于点O,过点O作DE//AC,分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系,并说明你的理由。
图3
简析:猜想:AD+CE=DE。理由如下:由于OA、OC分别是DE//AC,所以
和
。
训练题:如图4,在
中,AD平
3.6三角形外角定理
3 .6关注三角形的外角
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其 A 它角有什么关系?
能证明你的结论吗?
∠1+∠4=1800 ; ∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3.
2
3
B
4 1 C
D
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理), ∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 在这里,我们通过三角 形内角和定理直接推导 出两个新定理.像这样, 由一个公理或定理直接 推出的定理,叫做这个公 理或定理的推论.
A 2
3
B
4 1 C
D
推论可以当作定理使用.
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角. △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3.
3
B
A 2
4 1 C
D
这个结论以后可以直接运用.
E
例1 已
三角形的高中线角平分线练习题
三角形的高、中线、角平分线练习题
1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。
2、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是( )
A .直线
B .射线
C .线段
D .射线或线段
3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )A .锐角三角形 B .直角三角形 C
.钝角三角形 D .不能确定
4、能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是
( )
A .中线
B .高
C .角平分线
D .以上三种情况都正确
5、如图若∠BAF=∠CAF ,则____是△ABD 的角平分线,
____是△ABC 的角平分线
6、如图AB ⊥AC ,则AB 是△ABC 的边____上的高,也是
△BDC 的边______上的高,也是△ABD 的边____上的高.
7、如图BD 、AE 分别是△ABC 的中线、角平分线,AC=10cm ,
∠BAC=700,则AD=_____,∠BAE=____.
F A B C
D A B C D A B C D
8、在△ABC 中,AE 是中线,AD 是角平分
线,AF 是
高,填空:
⑴BE =___=21_____;
⑵∠BAD=_____=21
_____;⑶∠AFB=_____=90
三角形的高中线角平分线公开课教案
教案
7.1.2三角形的高、中线与角平分线
大坦学校 许志越
一、教学目标:
1、 三角形的高、中线与角平分线的定义。
2、 三角形的高、中线与角平分线的画法及数量关系。 3、 通过学习,增强空间抽象能力和比较归纳思想。 二、教学重点:
三角形的高.中线与角平分线的定义及画法。 三、教学难点:
三角形的高.中线与角平分线的定义的理解及不同三角形高的画法 四、教学分析:
本课课本内容较少,为一个课时,为了加深学生的学习兴趣与理解,在教学中我一方面将教学内容与小学内容进行衔接,增强过渡效果。第二方面为加深学生对定义理解,教学中可采用投影,既可以对指定内容进行强调,又可减少教师上课作图时间,增加教学容量。第三教学中我采用了折纸方法,进一步加强学生对定义的理解。 五、教学过程: 1、教学引入:
1)复习三角形的定义。
(由三条线段首尾相接组成的图形) 2)三角形的面积公式是什么? S△=
1ah 2
3)你还记得三角形的高是怎么作出来的吗?引出课题 2、新课讲解:
三角形的高
1)找一个同学上黑板作一个三角形的高。注意规范,师生指正。
找一个同学用几何语言来描述一下三角形的高的定义,归纳出定义。
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,所得的垂线段
八年级上经典三角形的高中线角平分线内外角练习
A E D C
B A B '
C A 八年级上角形高、中线、角平分线,内外角练习
一、选择题:
1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( )
A.是边BB ′上的中线
B.是边BB ′上的高
C.是∠BAB ′的角平分线
D.以上三种性质合一
(1) (2) (3)
2.如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法正确的是( )
A.DE 是△BCD 的中线
B.BD 是△ABC 的中线
C.AD=DC,BD=EC
D.∠C 的对边是DE
3.如图3所示,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影
等于( )
A.2cm 2
B.1cm 2
C.12cm 2
D.14
cm 2 4.在△ABC,∠A=90°,角平分线AE 、中线AD 、高AH 的大小关系为( )
A.AH<AE<AD
B.AH<AD<AE
C.AH ≤AD ≤AE
D.AH ≤AE ≤AD
5.
角平分线定理应用
一、选择题
1. (2009 山东省临沂市) 如图,OP平分 AOB,PA OA, OB,
垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是() A.PA PB B.PO平分 APB C.OA OB D.AB垂直平分OP
O
B
2. (2010 吉林省长春市) 如图,△ABC中, C 90°, B 40°,AD是角平分线,则 ADC的度数为()
(A)25°(B)50°(C)65°(D)70°
3. (2010 广西柳州市) 如图,若CD 3Rt△ABC中, C 90°, ABC的平分线BD交AC于D,cm,则点D到AB的距离DE是()
A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm A D B C
4. (2010 湖南省益阳市) 如图3,已知△ABC,求作一点P,使P到∠A两边的距离相等,且PA=PB.下
列确定P点的方法正确的是
A.P为∠A、∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C.P为AC、AB两边上的高的交点 D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
5. (2010 湖北省襄樊市) 如图1,已知直线AB∥CD,BE平分
角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用
1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形: a、 如图甲:一直线与角的一边平行 //OA??3??2?CD???1??3?DO?DC ?1??2? 等腰三角形DOCb、 如图乙:一直线与角的平分线平行
?? DE//OC???
2.等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a、如图甲:等腰三角形的一腰与角的一边平行
CO?DC??1??3? ???2??3?CD//OA?1??2?
b、如图乙:等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行
?1??3????2??4???3??4?OD?OE??等腰三角形ODE??1??2?图甲
B
O 3 D
图乙 1 2 4 E
A
C
?OE??3??4?OD1???3??AOB???2?AOB??3??4? ? ??1??3?OC//DE1 ??1??AOB?2 ?3.等腰三角形与平行线往往出现角平分线
a、如图甲:与一腰平行 OA//DC??3??2????1??2 CO?DC??3??1?b、如图乙:与底边平行 OD?OE??3??4? ? ? 1 ? ? 3 ? ? 1 ??2??DE//OC?
三角形的外角教学反思
篇一:7下7.5《三角形的外角》教学反思
课题:三角形的外角(评价与反思)
(课型新授)
1.成功之处;
整体来说,本堂课的教学围绕三角形的外角识别、性质及应用展开教学,通过言简意赅的定义讲解,及时提醒易错问题,举出典型的反例(如外角的辨析)并结合图形进行分析等使本节课的重点得到了突出,难点得到了突破;并学生学习中的情况进行了点评和分析,并对有较多学生存在的问题作出了反馈;教育了学生要善于总结解题思路和方法,“在教学内容上,教学已经由注重传授单一、高深、繁难的知识技能,转向为学生提供基础性的、丰富多彩的内容,使学习更容易”,因此整体设计是成功的。
2.不足之处及改进措施:
(1)对外角与内角的关系的探索思路还可以作一些改进,让学生更有思考性。 改进措施:在学生明确了解三角形外角的概念后,提出“三角形的一个外角与三角形的三个内角”的问题,让学生画图,小组讨论,最后师生共同归纳,从而得出与相邻角和不相邻角的关系这一个系统的知识链。
(2)在引导学生认清外角以及外角的定理后,没能很好地画龙点睛:告诉学生这条性质的用处——用于求角度,所以学生练习一开始并不会应用到它,而是走了弯路用三角形的内角和去求。
改进措施:在探讨出外角性质之后,学生练习之前,明确地告诉学生这一