高中指数与指数幂的运算

篇一：指数与指数幂的运算(例题讲解加同步练习)

指数与指数幂的运算

知能点全解：

知能点1：有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂an

n个

?????

?0

?a?a?a???a(n?N)； （2）零指数幂a?1(a?0)；

（3）负整数指数幂a?n?

1a

n

?a?0,n?N??

（4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）aa?a

m

m

n

m?n

?a?0,m,n?Q?（2）?a?

m

n

?amn?a?0,m,n?Q?

（3）?ab??ambm?a?0,b?0,m?Q?

例 1：把下列各式中的a写成分数指数幂的形式

（1）a5?256；（2）a?4?28；（3）a?7?56；（4）a?3n?35m?m,n?N??

1

解：（1）a?256；（2）a?28

5

?

14

；（3）a?5

?32

?

67

；（4）a?3

?

5m3n

例 2:计算 （1）9

3

32

； （2）16

2?32

?32

解：（1）9??3

2

2

?

32

?3?3?27

3

；（2）16

??4

2

?

?

32

?4

?3

?64

?1

?

1

若a＞0，P是一个无理数，则ap表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。

例 3: 化简（式中字母都是正数）

（1）?解

教学设计

课题名称：指数与指数幂的运算

姓名：曾小林 学科年级：必修一 教材版本：人教A版 新授课

教学方法：讲授法与探究法 教学媒体选择：多媒体教学 学习者分析：

1.需求分析：在研究指数函数前，学生应熟练掌握指数与指数幂的运算，通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数，为学习指数函数打基础 2.学情分析：在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们研究指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入。 学习任务分析：

1.教材分析：本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如推广思想，逼近思想，教材充分关注与实际问题的联系，体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值

2.教学重点：根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化。

3.教学难点：n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算。 教学目标阐明：

1.知识与技能：理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算，能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化。

2.过程与方法：通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力。 3.情感态

数学精品

2.1.1《指数与指数幂的运算》（2）指数幂及其运算导学案

【学习目标】：

正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算． 【重点难点】

重点：有理数指数幂的运算．

难点：有理数指数幂的运算．无理数指数幂的意义． 【知识链接】

1．什么叫根式？→根式运算性质：

(na)n=？、nan=？、amp=？

2．分数指数幂如何定义？运算性质？

3．计算下列各式的值：(2?b)2 ；(3?5)3；234，5a10，379

4．基础习题练习：（口答下列基础题）

np??_____?x?0?n①n为 时，xn?|x|??．

??_____(x?0)②求下列各式的值：

2①326；②416；③681；④6(?2)；

⑤15?32；⑥ 4x8；⑦ 6a2b4．

【学习过程】

1．分数指数幂概念及运算性质: ① 引例：a>0时，

2323a?5(a)?a?a→a??； ②定义分数指数幂：

mnnm*5102521053123a?(a)?a →

?mn233a??．

规定：a?a(a?0,m,n?N,n?1)；a2、无理指数幂（课本不作要求）

[来源学。科。网Z。X。X。K]?1amn

2.1 指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算

整体设计

教学分析

我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．

三维目标

1．通过与初中所学的知识进行类比

2017-2018学年（上）厦门十中数学学案及校本作业（12）

2.1.1 指数与指数幂的运算

基础知识梳理

1.指数及其相关概念：

（1）n次方根：如果存在实数x，使得x=a(a∈R,n>1,n∈N)，那么x叫做a的n次方根. （2）求a的n次方根，叫做a开n次方，称作开方运算；

n??n为奇数, a的n次方根有一个,为a a为正数:?n??n为偶数, a的n次方根有两个,为?an

＊

??n为奇数, a的n次方根只有一个,为naa为负数:?

??n为偶数, a的n次方根不存在.（3）n次方根的运算性质：

n

①(a)n＝a.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数．

n

②n为奇数，an＝a.先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数； n为偶数，

n

??a，

a＝|a|＝?

?－a，?

n

a≥0，

a<0.

先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值．

2.分数指数幂：

正分数指数幂：a= ；（a>0,m,n∈N*,且n>1） 负分数指数幂：a?mnmn= = ；（a>0,m,n∈N*,且n>1）

3.指数幂的运算性质：

(na)n= ；na= (当n为奇数时);na=

3.1.1实数指数幂及其运算

知识与技能: (1）掌握根式的概念；

(2）规定分数指数幂的意义；

(3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化； (4）理解有理指数幂的含义及其运算性质； (5）了解无理数指数幂的意义

过程与方法: 通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间

的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．

情感态度与价值观: 通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质． 一、引入课题

有典故引入课题，了解指数指数概念提出背景，体会引入指数的必要性； 二、研探新知 （一）整数指数幂

1、整整指数幂：an叫做a的n次幂，n 幂指数，a 幂底数，

n是正整数 正整数指数幂

规定：a1 a

2、正整数指数幂的运算法则：

（1）am an am n （2）am

n

amn

amm

（3）n am n(m n,且a 0) （4） ab am bm

a

3、零指数幂和负整数指数幂 规定：（1）a例：96页A-1

二组：

（1）若m,n Z，满足5m a，5n （2

）已知a

2n

a(a 0) （2）a n

1

(a 0,n N ) an

1

，则52m n . b

a3n a 3n

第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时 根式

【引例1】

银杏, 是全球中最古老的树种 . 在 200 多万年前 , 第四纪冰川出现 , 大部分地区的银杏毁于一旦 , 残留 的遗体成为了印在石头里的植物化石.在这场大灾难 中,只有中国保存了一部分活的银杏树,绵延至今,成 了研究古代银杏的活教材 . 所以, 人们把它称为“世 界第一活化石”.

考古学家根据什么推断出银杏于 200多万年前就 存在呢?

【引例2】当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的 规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个 时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体 内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系 , 这个关系式应 该怎样表示呢我们可以先来考虑这样的问题:

(1)当生物体死亡了5 730, 5 730〓2, 5 730〓3, 年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?1, 2( 1 ) 2 , ( 1 )3 , 2 2 .

(2)由以上的实例来推断关系式是 P ( 1 ) 2

t 5 730

.

考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后, 体内碳14的含量P的值. 这里的幂指数已经不是正整数，而是分数

2.1.1 指数与指数幂的运算

教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；

2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： 第一课时 引例：填空

（1）； a=1（a； (2) (m,n∈Z)； (m,n∈Z)； (n∈Z) （3）； -； （4）； 0 （II）讲授新课 1.引入：

（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为可看作,所以可以归入性质；又因为可看作，所以可以归入性质 (n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 2=4 ，（-2）=4 2，-2叫4的平方根 332=8 2叫8的立方根； （-2）=-8-2叫-8的立方根 5n2=32 2叫32的5

§2.1.1 指数与指数幂的运算（一）

¤本课目标：（1）根式的定义。（2）根式和分数指数的互化。

（3）指数幂的基本运算。（4）了解无理指数幂的计算方法

¤重难点： 指数幂的基本运算

¤情景引入：

生物死亡后，体内碳每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡100年后体内碳的含量P与死亡时碳14的关系为__________.

¤预习思考选题： 看书P49—50完成

1. 若xn?a，则x叫做 ，记为 ，其中n>1，且n?N?. n次方根具有如下性质：

（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根 ；零的任何次方根都是 .（不存在00）

（2）(a)2? ；a2? ；例如：(5)2? ；(?3)2? ；

（3）n次方根（n?1,且n?N*）有如下恒等式：

?np(na)n? ；nan?? ；amp? ，（a?0）.

?看书P50—51完成

2．规定正数的分数指数幂：a

3．am

§2.1.1 指数与指数幂的运算（一）

¤本课目标：（1）根式的定义。（2）根式和分数指数的互化。

（3）指数幂的基本运算。（4）了解无理指数幂的计算方法

¤重难点： 指数幂的基本运算

¤情景引入：

生物死亡后，体内碳每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡100年后体内碳的含量P与死亡时碳14的关系为__________.

¤预习思考选题： 看书P49—50完成

1. 若xn?a，则x叫做 ，记为 ，其中n>1，且n?N?. n次方根具有如下性质：

（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根 ；零的任何次方根都是 .（不存在00）

（2）(a)2? ；a2? ；例如：(5)2? ；(?3)2? ；

（3）n次方根（n?1,且n?N*）有如下恒等式：

?np(na)n? ；nan?? ；amp? ，（a?0）.

?看书P50—51完成

2．规定正数的分数指数幂：a

3．am