不定方程的定义

六年级奥数 不定方程

【知识要点】

如果一个方程（组）的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程（组）就叫做不定方程（组）。 不定方程是数论中最古老的一个分支，它的研究在我国已延续了数千年，至今仍是令人感兴趣的课题。 不定方程的内容非常丰富，但在小学数学竞赛中，我们主要讨论二元一次不定方程，形如ax±by=c(a、b、c为已知的整数)的方程，我们称为二元一次不定方程，又称丢番图方程，以纪念生于公元三世纪的希腊数学家丢番图，他写了一本关于这类方程的书。

一个不定方程一般总有无穷多组解，但小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。不定方程通常利用不等式及整除性来求解。 例1．

求3x+4y＝23的自然数解。

练习一

1、 求3x+2y＝25的自然数解。

2、 求4x+5y＝37的自然数解。

3、 求5x－3y＝16的最小自然数解。

例2

求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2

练习2

求下面方程组的自然数解。

1、 4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68

3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52

1

不定方程

———研究其解法

方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解？

解：当x = 1时y﹢z = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)??(98，1)。 当x = 2时y﹢z = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)??(97，1)。 ??

当 x = 98时，y﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如：方程式4x﹢7 y =55共有哪些正

1

不定方程

———研究其解法

方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解？

解：当x = 1时y﹢z = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)??(98，1)。 当x = 2时y﹢z = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)??(97，1)。 ??

当 x = 98时，y﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如：方程式4x﹢7 y =55共有哪些正

不定方程选讲

一、一次不定方程（组）

1．求不定方程x+y+z=2007正整数解的个数。 2．求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。 3．解不定方程11x+15y=7。 4．解不定方程50x+45y+36z=10。

?5x+7y+2z＝24，

5．解不定方程组?

?3x－y－4z＝4．

6．解不定方程6x+15y+21z+9w=30。

7．求有多少个正整数对(m,n)，使得7m+3n=102004，且m︱n。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8．求满足方程2x2+5y2=11(xy－11)的正整数数组(x，y)。 9．解不定方程14x2－24xy+21y2+4x－12y－18=0。 10．解不定方程3x2+5y2=345。

11．解不定方程x2－5xy+6y2－3x +5y－11=0。 12．求方程xy－2x+y=4的整数解。

35

13求能使等式 + =1成立的所有正整数m，n。

mn14．求方程2xy－2x2+3x－5y+11=0的整数解。 15．求方程3xy+y2－6x－2y=2的整数解。 16．求方程x2+y= x2y－1000的正整数解。 17．求所有的整数对(x，y)，使得x3 = y3+2y2 +1。

不定方程选讲

一、一次不定方程（组）

1．求不定方程x+y+z=2007正整数解的个数。 2．求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。 3．解不定方程11x+15y=7。 4．解不定方程50x+45y+36z=10。

?5x+7y+2z＝24，

5．解不定方程组?

?3x－y－4z＝4．

6．解不定方程6x+15y+21z+9w=30。

7．求有多少个正整数对(m,n)，使得7m+3n=102004，且m︱n。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8．求满足方程2x2+5y2=11(xy－11)的正整数数组(x，y)。 9．解不定方程14x2－24xy+21y2+4x－12y－18=0。 10．解不定方程3x2+5y2=345。

11．解不定方程x2－5xy+6y2－3x +5y－11=0。 12．求方程xy－2x+y=4的整数解。

35

13求能使等式 + =1成立的所有正整数m，n。

mn14．求方程2xy－2x2+3x－5y+11=0的整数解。 15．求方程3xy+y2－6x－2y=2的整数解。 16．求方程x2+y= x2y－1000的正整数解。 17．求所有的整数对(x，y)，使得x3 = y3+2y2 +1。

2010届初一数学竞赛专题选讲

第12课 不定方程

【知识要点】 不定方程(组)是指未知数的个数大于方程个数的方程(组)，这样的方程一般有无穷多组解，但我们一般仅研究其整数解或有理数解，对于实际问题，甚至只要求出正整数解。不定方程的理论与整除理论紧密相连，是数论中内容极其丰富的一个分支。最简单的不定方程是二元一次不定方程，形如ax+by=c ①,其中a,b,c都是已知的整数，且a,b不为0。

一般地，不定方程问题关心以下三个方面：(1)判断方程是否有整数解，如果有，求出一个解；(2)判断方程是否有无穷多个解；(3)求出方程的全部整数解。对方程①可以完全解决以上三个问题。

次数高于一次的不定方程，可以借助因式分解求解。

关于二元一次不定方程ax+by=c有无整数解，有下面的： 定理1：若二元一次不定方程ax+by=c中，a和b的最大公约数不能整除c，则方程没有整数解。 例如，方程2x+4y=5没有整数解。（想一想，为什么？） 定理2：如果正整数a,b互质，则方程ax+by=c有整数解。 例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。 定理3：如果(a,b)|

求不定方程整数解的常用方法

摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.

关键字：不定方程;整数解;整除性

1引言

不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.

中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究

高中奥数试卷

不 定 方 程

【知识精要】

形如x+y=4，x+y+z=3，

11

=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次xy

不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解．

对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1．二元一次不定方程ax+by=c，（1）若其中（a，b） c，则原方程无整数解；（2）若（a，b）=1，则原方程有整数解；（3）若（a，b）｜c，则可以在方程两边同时除以（a，b），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．

如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解．

x x0 x cx0

定理2．若不定方程ax+by=1有整数解 ，则方程ax+by=c有整数解 ，

y y0 y cy0 x cx0 bk

此解称为特解．方程方程ax+by=c的所有解（即通解）为 （k为整数）．

y cy ak0

对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：

（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解； （2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解； （3）估算法．先缩小方程中某

初等数论：不定方程与高斯函数

一、不定方程

不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解；

（2）判定不定方程是否有解；

（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；

（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；

（5）无穷递推法。 以下给出几个求解定理：

（一）二元一次不定方程（组）

定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)

不定方程与不定方程组

教学目标

1.利用整除及奇偶性解不定方程 2.不定方程的试值技巧

3.学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明 历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义

1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。 3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解

三、不定方程的试值