数学人教A版选修4-4

学习目标 1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题．

知识点一 柱坐标系

思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离． 梳理 柱坐标系的概念

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记做P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，z∈R.

x＝ρcos θ，??

(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为?y＝ρsin θ，??z＝z.知识点二 球坐标系

思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示． 答案 可以．

梳理 球坐标系的概念

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，

三 直线的参数方程

．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点) ．能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)

[基础·初探]

经过点(，)，倾斜角为α

教材整理 直线的参数方程阅读教材～，完成下列问题．

(\\\\(＝＋ α＝＋ α))

的直线的参数方程为

(为参数)，其中参数的几何意义是：是直线上任一点(，)到定点(，)的距离，即

＝.

曲线(\\\\(＝－＋＝－))(为参数)与坐标轴的交点是( )

[质疑·手记]

、、、()

．(，－)、()

【解析】当＝时，＝，而＝－，即＝，得与轴的交点为；当＝时，＝，而＝

－＋，即＝，得与轴的交点为.

【答案】

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问：解惑：疑问：解惑：

疑问：解惑：

[小组合作型]

!错误直线参数方程的简单应 用(\\\\(＝＋，＝＋))

已知直线的参数方程为(为参数)，则该直线被圆＋＝截得的弦长是多少？

【思路探究】考虑参数方程标准形式中参数的几何意义，所以首先要把原参数

方

程

转

化

为

标

准

形

式

错误!再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于的一元二次方程，弦长即为方

程两根之差的绝对值．

【自主解答】 将参数方程(\\\\(＝＋，＝＋))(为参数)转化为直线参数方程的标准形式为

三 直线的参数方程

．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点) ．能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)

[基础·初探]

经过点(，)，倾斜角为α

教材整理 直线的参数方程阅读教材～，完成下列问题．

(\\\\(＝＋ α＝＋ α))

的直线的参数方程为

(为参数)，其中参数的几何意义是：是直线上任一点(，)到定点(，)的距离，即

＝.

曲线(\\\\(＝－＋＝－))(为参数)与坐标轴的交点是( )

[质疑·手记]

、、、()

．(，－)、()

【解析】当＝时，＝，而＝－，即＝，得与轴的交点为；当＝时，＝，而＝

－＋，即＝，得与轴的交点为.

【答案】

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问：解惑：疑问：解惑：

疑问：解惑：

[小组合作型]

!错误直线参数方程的简单应 用(\\\\(＝＋，＝＋))

已知直线的参数方程为(为参数)，则该直线被圆＋＝截得的弦长是多少？

【思路探究】考虑参数方程标准形式中参数的几何意义，所以首先要把原参数

方

程

转

化

为

标

准

形

式

错误!再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于的一元二次方程，弦长即为方

程两根之差的绝对值．

【自主解答】 将参数方程(\\\\(＝＋，＝＋))(为参数)转化为直线参数方程的标准形式为

1.1 平面直角坐标系

本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.

一、课前小测

?温故而知新

1．到两个定点A（-1，0）与B（0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？

2．在⊿ABC中，已知A（5，0），B（-5，0），且

AC?BC?6，求顶点C的轨迹方程.

二、典型问题

?重点、难点都在这里

【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正

北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上.）

【问题2】：已知⊿ABC的三边a,b,c满足

b2?c2?5a2，BE，CF分别为边AC，AB上的中

线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系.

三、技能训练

?懂了，不等于会了

4．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹.

5．求直线2x?3y?5?0与曲线y?1x的交点坐标.

6．已知A（-2，0），B（2，0），则以AB为

广东北江中学高二数学补充讲义

选修4—4 第二讲 参数方程

问题1：弹道曲线

我们在观看革命历史战争影片时,经常见到我人民解放军炮击敌人阵地的场景.从物理学角度来说, 炮弹飞行的弹道轨迹是斜抛运动.现已知一门火炮发出炮弹的初速度v0米/秒,发射的仰角为?(设重力加速度为g)

问:

(1)炮弹飞行的弹道曲线方程是怎样的?是哪种类型的曲线? (2)当?为多少度时, 炮弹飞行的距离最远? 点拨提示:

(1) 斜抛运动可分解成一个质点M在水平方向作匀速直线运动和垂直方向作竖直上抛运动,建立直角坐标系后,按匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式可得弹道曲线方程

x?v0tcos????12 (t为参数) 消去t可得抛物线方程; y?ytsin??gt0?2?(2)由二次函数的性质可求得???4满足条件.

问题2.如何将参数方程化为普通方程？

普通方程和参数方程是曲线方程的两种不同表达方式.为了判断曲线的类型或研究曲线的几何性质,需要将参数方程化为普通方程.

常见的消参数的方法有代入消元法、三角消元法两种.

代入消元法一般适用 一般变量的参数方程消去参数 三角消

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参数方程 综合练习2

一、选择题（每小题4分，共48分）

?x?1?2t1．若直线的参数方程为?(t为参数)，则直线的斜率为（ ）

?y?2?3t2233A． B．? C． D．?

3322?x?2cos?2．直线：3x-4y-9=0与圆：?，(θ为参数)的位置关系是( )

y?2sin?? A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心

?x?acos?3．设椭圆的参数方程为??0?????，M?x1,y1?，N?x2,y2?是椭圆上两

y?bsin?? 点，M，N对应的参数为?1,?2且x1?x2，则（ ） A．?1??2 B．?1??2 C．?1??2 D．?1??2

4．经过点M(1，5)且倾斜角为 的参数方程是( )

?的直线，以定点M到动 点P的位移t为参数 31111????x?1?tx?1?tx?1?tx?1?t????????2222 A.? B. ? C. ? D. ?

3333?y?5??y?5??y?5??y?5?tttt????2222?????x?t25．点P

精品教案

参数方程

目标点击：

1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；

2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；

3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题.

基础知识点击：

1、曲线的参数方程

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函 x f(t)数， (1) 并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)

y g(t) 都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.

2、求曲线的参数方程

求曲线参数方程一般程序：

(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2) 选参：选择合适的参数；

(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x，y的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x、y的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程

相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（x,y）的方程F（x,

高中数学人教A版选修4-4课件第一讲 三 2. 直线的极坐标方程

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[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1．参数方程为?????

x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( ) A ．线段

B ．双曲线的一支

C ．圆弧

D ．射线

解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，

即x －3y －5＝0，

由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，

故曲线为线段．故选A.

答案：A 2．参数方程?????

x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线

B ．圆

C ．线段

D ．射线

解析：x ＝cos 2θ∈[0,1]， y ＝sin 2θ∈[0,1]，∴x ＋y ＝1，(x ∈[0,1])为线段．

答案：C

3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )

A.?

???? x ＝t 2y ＝2t 2＋1 B.????? x ＝2t －1y ＝4t ＋1 C.????? x ＝t －1y ＝2t －1 D.?????

x ＝sin θy ＝2sin θ＋1 解析：由y ＝2x ＋1知x ，y 可取全体实数，故排除A 、D ，在B 、C 中消去参数t ，知C 正确．

答案：C

4．下列各组方程中，表示同一曲线的是( )

A.????? x ＝tan θ，y ＝1tan θ

????θ为参