立体几何求向量坐标的方法

高二数学学案 教案编写： 审核人： 高二数学组 使用时间： 编号：1

3.2.立体几何中的向量方法（坐标法） 【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的坐标方法； 【学习重点】坐标法解决立体几何问题的三个步骤； 【学习难点】立体几何问题到向量坐标问题的转化； 【学习过程】 1、 直线的方向向量： 。 2、平面的法向量： 。 3、 例题2：如图二面角中α---L---β中AC、BD都与L垂直AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α---L---β的余弦值 F'βB C αDlA例题讲解 D'例题1：如图四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此

高二数学学案 教案编写： 审核人： 高二数学组 使用时间： 编号：1

3.2.立体几何中的向量方法（坐标法） 【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的坐标方法； 【学习重点】坐标法解决立体几何问题的三个步骤； 【学习难点】立体几何问题到向量坐标问题的转化； 【学习过程】 1、 直线的方向向量： 。 2、平面的法向量： 。 3、 例题2：如图二面角中α---L---β中AC、BD都与L垂直AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α---L---β的余弦值 F'βB C αDlA例题讲解 D'例题1：如图四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此

《立体几何中的向量方法》教学设计（2）

【教学目标】利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． 【教学重点】：坐标法与向量法结合.

【教学难点】：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线． 【教学课时】：1课时 【课前准备】：课题 【教学过程设计】：

（1）点到平面的距离： 1．（一般）传统方法：

利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离. 在Rt?PAO中，

??O?PdnAsin??d|AP|?d?|AP|sin?

l?P又sin??|AP?n||AP||n|

?dn?d?|AP?n||n|A?O（其中AP为斜向量，n为法向量）

例１：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设CD?4i，CB?4j，CG?2

《立体几何中的向量方法》教学设计（2）

【教学目标】利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题． 【教学重点】：坐标法与向量法结合.

【教学难点】：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线． 【教学课时】：1课时 【课前准备】：课题 【教学过程设计】：

（1）点到平面的距离： 1．（一般）传统方法：

利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离. 在Rt?PAO中，

??O?PdnAsin??d|AP|?d?|AP|sin?

l?P又sin??|AP?n||AP||n|

?dn?d?|AP?n||n|A?O（其中AP为斜向量，n为法向量）

例１：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设CD?4i，CB?4j，CG?2

立体几何中有关体积问题

一、知识归纳

1、柱体体积公式：V?S.h

2、椎体体积公式：V?13S.h 3、球体体积公式：V?433?R

二、点到平面的距离问题 求解方法：

1、几何法：等体积法求h

2、向量法： 点A到面?的距离d?AB?nn

?其中，n是底面的法向量，点B是面?内任意一点。题型分析：

1、如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC,AB?BB1AC?BC?BB1?2,D为AB中点，且CD?DA1

（1）求证：BB1?平面ABC （2）求证：BC1∥平面CA1D (3)求三棱椎B1-A1DC的体积

A1C1 B 1 AC D B

2、如图，在四棱锥E?ABCD中，?ADE是等边三角形，侧面ADE?地面ABCD,AB∥DC，且

BD?2DC?4，AD?3，AB?5.

（1）若F是EC上任意一点，求证：面BDF?面ADE (2)求三棱锥C?BDE的体积。

E F C D

AB

3、如图，在棱长为2的正方体中，E,F分别为

DD1、DB的中点。

（1）求证：EF∥平面ABC1D1 (2)求证EF?B1C （2）求三棱锥B1?EFC的体积。 D1C1

AB11 E D C F AB

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

§3.2 立体几何中的向量方法 (一>

—— 平行与垂直关系的向量证法

知识点一 求平面的法向量

已知平面α经过三点A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2，0>，试求平面α的一个法向量．

解∵A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2,0>，

＝(1，－2，－4>，错误!＝(1，－2，－4>， 设平面α的法向量为n＝(x，y，z>． 依题意，应有n·

=0， n·错误!=0.

即错误!，解得错误!.令y＝1，则x＝2.b5E2RGbCAP ∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0>．

【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量>即可．p1EanqFDPw 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：

是平面A1D1F的法向量.

DXDiTa9E3d 证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则的法向量．

证明

是平面A1D1F

设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0>，E错误!，RTCrpUDGiT ＝错误!..D1＝(0,0,1>，5PCzVD7HxA F错误!，A1(1,0,1>．jLBHr

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

3.2立体几何中的向量方法——空间角

1、两条直线的夹角：设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,

a b 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ; 2 ab

l

l

a

m

a b

m

例： 在直三棱柱ABC A1 B1C1中，BC AC ,BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1的中点D1、F1, 求BD1和AF1所成的角的余弦值.zC1

解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系C xyz,如图所示，设CC1 1则： F11 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2

D1C

B1

A1A

1 所以： AF1 ( , 0,1), BD1 ( 1 , 1 ,1) 22 2

B

y

1 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1, BD1 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

x

2、直线与平面的夹角： 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 的 法向量分别为 u ,

a u 直线 l