幂函数教学设计与教案

2.3幂函数教学设计

一． 教材分析

幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

二． 学情分析

学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。 三． 教学目标 ．知识目标

通过实例，了解幂函数的概念；

会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；

了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。 ．能力目标

在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能

力，培养学生数形结合的意识和思想。 ．情感目标

通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

四． 教学重点常见的幂函数的图象和性质。 五． 教学难点画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。

六． 教学用具多媒体 七

2.3幂函数

李航群

一 教材分析

幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。 二 教学目标

1．知识目标:（1）通过实例，了解幂函数的概念；

（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质； （3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2．能力目标:在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3． 情感目标:通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。 四 教学重点 常见的幂函数的图象和性质。

五 教学难点 画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。 六 教学课时 ：一课时

七 教学方法：探究研讨法，讲练结合法 八 教学过程 （一）创设情境

问题一：下列问题中的函数各有什么特征？

（1）如果张红购买了每千克1元

2.3幂函数

李航群

一 教材分析

幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。 二 教学目标

1．知识目标:（1）通过实例，了解幂函数的概念；

（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质； （3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2．能力目标:在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3． 情感目标:通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。 四 教学重点 常见的幂函数的图象和性质。

五 教学难点 画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。 六 教学课时 ：一课时

七 教学方法：探究研讨法，讲练结合法 八 教学过程 （一）创设情境

问题一：下列问题中的函数各有什么特征？

（1）如果张红购买了每千克1元

2.3 幂函数

教学分析

一、 教学目标：

1、掌握幂函数的概念；熟悉α=1,2,3，?，

-1时的1幂函数的图象和性质；能利用幂函数的性质 解决实际问题。

2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论，

培养学生的发现问题，解决问题的力。

二、教学重难点：

重点：幂函数的定义，图象与性质。

难点：幂函数的图象与性质。

三、教学准备：

1 教师：将幂函数y?x,y?x,y?x,y?x2,y?x图象提前画

在小黑板上。

23?1四、教学导图:

情境引入 函数的概念幂 课堂练习 画出α=1,2,3，?，-1图象

师生交流归纳出五个具体幂函数的性质

课堂练习 例题分析 课堂小结 课后作业 教学设计

一、 教学过程：

（一）教学内容：幂函数概念的引入。

设计意图：从学生熟悉的背景出

一．指数函数

1.y=a^x：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3） 函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5） 函数总是通过（0，1）这点。

（6） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

二．对数与对数函数

（一）对数： 1.零和负数没有对数 2.三个对数恒等式

3.三个运算法则:(在a>0，a≠1的前提下)

1

(1) (2) (3)

4.两个换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下： (1) (2)

练习：1.解出下列的x 2.求下列函数的定义域：

(2)log3(x-1)=log9(x+5).

3.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求4.求值:(1)

（二）对数函数的性质及应用

。 (2)

2

练习：

1. 若logm3.5>logn3.5(m，n>0，且m≠1，n≠1)，试比较m ，n的大小。

(-x2+2x+3)的值域和单调区间。

2. 求函数y=

3.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。

(1)若函数f(x)的定义域为

7.二次函数与幂函数

二次函数见【附录】 1．幂函数的概念 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 2.常用幂函数的图像与性质

1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(

)

2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝( )

4ac－b2bb

A．－ B．－ C．c

2aa4a

3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( ) A．[1，＋∞] B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2]

3

4．已知点M ，3 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为( )

3

A．f(x)＝x B．f(x)＝x

2

－2

1

C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2

－

1

1

5．设α∈ －1，1，23 ，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )

A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3

【例1】 (2014年浙江七校模拟)如图

幂函数、函数与方程、方程与零点

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幂函数、函数与方程、方程与零点

教学设计方案XueDa PPTS Learning Center

定 义 域 值域 奇偶性 单调性 定点 归纳： 归纳：当 α > 0 是，幂函数 y = x α 图象过点 (1,1), ( 0 , 0 ) ,且在第一象限随 x 的增大而上升,函 数在区间 [0,+∞ ) 上是单调增函数 y = x 1 y = x 2 y = x 3-

y= x

1 2

y= x

-

1 3

图 象 定 义 域 值域 奇偶 性 单 调 性 定点 归纳： 归纳： α < 0 时幂函数 y = x α 的图象过点 (1,1) ,且在第一象限随 x 的增大而下降，函数在

区间 (0,+∞) 上是单调减函数，且向右无限接近 X 轴，向上无限接近 Y 轴。 汇总：幂函数性质归纳. 汇总：幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都过点(1,1) )所有的幂函数在( , ∞ 都有定义，并且图象都过点( , ) ; 幂函数的图象通过原点， 上是增函数. (2) α > 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 [0,+∞) 上是增函数. ) 特别地， 幂函数的图象下凸；

幂函数的性质与图象

上海大学附属中学 钱寒静

【教学材料】高中一年级第一学期数学4.1《幂函数的性质与图像》 【教材分析】

幂函数、指、对函数是最基本、最常用的函数模型，是学习其它函数的基础。学生在初中已经学过了正比例、反比例、一次和二次函数，学过指数和幂的知识，本节课是在初中知识的基础上对形如y?xk（的函数进行系统、全面的探究，这既有利于 k为常数，k?Q）学生对函数概念的理解，又对今后学习其它函数提供了方法，从而提高学生的数学应用能力。 【学情分析】

学生在初中已经接触过函数，学习过有关幂的运算性质，并具有一定的列表、画图的能力，授课的班级为上海市示范性高中的学生，他们的数学基础扎实。 【教学目标】 知识与技能：

1、 知道幂函数的概念，理解幂函数当k>0时在第一象限内的图象特征； 2、 类比让学生发现当k<0时，幂函数在第一象限内的图象特征； 3、掌握幂函数当k变化时的图象特征； 过程能力与方法：

在教学中充分发挥学生的主体作用，让他们经历幂函数性质发现的全过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察反思，最终自己得到幂函数的所有性质。

情感、态度与价值观：

让学生认识到幂函数图象的奇特魅力，体会数学的对称美与和谐美，增强学生科学严谨的学习态度，最终深刻理解到量变引起质变的哲学道理。 【重点

教学过程： 一、幂函数

1．幂函数的定义

⑴一般地，形如y x （x R）的函数称为幂函数，其中x是自变量， 是常数； ⑵y x,y x,y x等都是幂函数，在中学里我们只研究 为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像

2

13

14

x

12

x 1

⑵归纳幂函数的性质： ① 当 0时：

ⅰ）图象都过 0,0 , 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且 越大，上升速度越快。 ⅲ）当 1时，图象下凸；当0 1时，图象上凸。

② 当 0时： ⅰ）图象都过 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且 越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解：

[键入文字] [键入文字]

14

[键入文字]

例1 写出下列函数的定义域和奇偶性

（1）y x （2）y x （3）y x 3 （4）y x 2

例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）2,3 ；（2）3.14与

1

6

164

34

34

；（3）( 0.88)与( 0.89)．

34

34

23

34

32

38

5353

1

幂函数及函数应用（讲义）

? 知识点睛

一、幂函数

1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．

2. 函数图象及图象性质

（1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3

，12

y x =，1y x -=的图象：

（2）图象性质

（3）幂函数图象的画法

第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势．

①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如

1

2

y x =；

③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=． 第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况．

2

① 当m n

α=（m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．

② 当m n

α=-（m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．

3. 幂函数