极坐标公式
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圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程
知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹.
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.
ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为: ??.
1?ecos? 其中p是定点F到定直线的距离,p>0 . 当0<e<1时,方程表示椭圆;
当e>1时,方程表示双曲线,若ρ>0,方程只表示双曲线右支,若允许ρ<0,方程就表示整个双曲线;
当e=1时,方程表示开口向右的抛物线.
ep
1+ecos?则0<e<1当时,方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时,方程表示开口向左的抛物线 当e>1方程表示极点在左焦点上的双曲线
ep(2 )若??
1-esin?当 0<e<1时,方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时,方程表示开口向上的抛物线
当 e>1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
ep(3)??
1+esin?当 0<e<1时,方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时,方程表示开口
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程
知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹.
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.
ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为: ??.
1?ecos? 其中p是定点F到定直线的距离,p>0 . 当0<e<1时,方程表示椭圆;
当e>1时,方程表示双曲线,若ρ>0,方程只表示双曲线右支,若允许ρ<0,方程就表示整个双曲线;
当e=1时,方程表示开口向右的抛物线.
ep
1+ecos?则0<e<1当时,方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时,方程表示开口向左的抛物线 当e>1方程表示极点在左焦点上的双曲线
ep(2 )若??
1-esin?当 0<e<1时,方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时,方程表示开口向上的抛物线
当 e>1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
ep(3)??
1+esin?当 0<e<1时,方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时,方程表示开口
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标方程)
圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?
定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为 的直线l经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则
(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长|AB|
H
; 22
|1 ecos |
(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长|AB|
推论:
H
.
|1 e2sin2 |
|AB| (1)焦点在x轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,
当A、B不在双曲线的一支上时,|AB|
H
;
1 e2cos2
H
;当圆锥曲线是抛物线时,
e2cos2 1
|AB|
H
. 2
sin
H
;
1 e2sin2
|AB| (2)焦
极坐标常见题型
极坐标常见题型
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
互化条件:极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,长度单位相同.
??2?x2?y2?x??cos??互化公式:? 或 ? yy??sin???tan??(x?0)x?θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?,???4sin?. (I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(II)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(I)x??cos?,y??sin?,由??4cos?得?2?4?cos?.所以x2?y2?4x. 即x2?y2?4x?0为⊙O1的直角坐标方程. 同理x2?y2?4y?0为⊙O2的直角坐标方程.
?x2?y2?4x?0?x1?0?x2?2(II)解法一:由?2解得,? ?2?y1?0?y2??2?x?y?4y?0即⊙O1,⊙O2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.
?x2?y2?4x?0解法二: 由?2,两式相减得-4x-4y=
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标方程)
圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?
定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为 的直线l经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则
(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长|AB|
H
; 22
|1 ecos |
(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长|AB|
推论:
H
.
|1 e2sin2 |
|AB| (1)焦点在x轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,
当A、B不在双曲线的一支上时,|AB|
H
;
1 e2cos2
H
;当圆锥曲线是抛物线时,
e2cos2 1
|AB|
H
. 2
sin
H
;
1 e2sin2
|AB| (2)焦
极坐标常见题型
极坐标常见题型
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
互化条件:极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,长度单位相同.
??2?x2?y2?x??cos??互化公式:? 或 ? yy??sin???tan??(x?0)x?θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?,???4sin?. (I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(II)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(I)x??cos?,y??sin?,由??4cos?得?2?4?cos?.所以x2?y2?4x. 即x2?y2?4x?0为⊙O1的直角坐标方程. 同理x2?y2?4y?0为⊙O2的直角坐标方程.
?x2?y2?4x?0?x1?0?x2?2(II)解法一:由?2解得,? ?2?y1?0?y2??2?x?y?4y?0即⊙O1,⊙O2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.
?x2?y2?4x?0解法二: 由?2,两式相减得-4x-4y=
极坐标与直角坐标的转化
第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化
一、 教学目标
掌握极坐标与直角坐标的互化
二、教学重点
对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用
三、教学难点
极坐标与直角坐标的互化的运用
四、教学过程
1. 创设情境引入
T:上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子.
假设点M 在平面直角坐标系中的的坐标为(),x y ,现在以直角坐标的原点作为极点, ox 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点M 的极坐标为(),ρθ
则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系:
cos sin x y θθ
ρρ??=??=?(这里注意解释点M 在不同象限也是成立的)
ρ,tan (0)y x x
θ=≠ 这里规定:0,02ρθπ≥≤<
T:于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系,根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。
T:但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提?
T:(1)极坐标的极点和直角坐标的原点相同;
(2)而极坐标的极轴与直角坐标的x正半轴要相同;
(3)两坐标取相同的长度单位。
否则不能用上面的换算公式。
根据上面的换算公式来解一下例1
例1.(1)把点M 的极坐标)3
2,
2013极坐标、参数方程资料
2013极坐标、参数方程
5、选修44:-坐标系与参数方程
极坐标系中,已知圆心C (3,)6π
,半径r=1.
(1)求圆的极坐标方程;(2)若直线为参数)t t y t x (21231???
????=+-=与圆交于B A ,两点,求AB 的中点M 与点P (-1,0)的距离.
(1、1)23(23322=-+???
? ??-y x 2
、1232t t PC +==+
解:(1)由已知得圆心)6sin 3,6cos 3(π
πC ,半径1,圆的方程为1)23(23322=-+???
? ??-y x 2分 即0833322=+--+y x y x 所以极坐标方程为08sin 3cos 332=+--θρθρρ 5分
(1)
把直线方程代入圆方程得26)90,30t t -++=?=> 7分 设21,t t 是方程两根
126)t t ∴+=-
所以1232t t PC +=
= 10分
5、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的参
数方程为
cos,
sin,
x t
y t
α
α
=
?
?
=
?
(t为参数,α为直线l的倾斜角)。圆C的极坐标方程为
28cos120.
ρρθ
-+=
(1)若直线l与圆C相切,求α的值;
(2)若
参数方程、极坐标讲义
参数方程、极坐标 一.直线的参数方程
l(1)标准式 过点P0(x0,y0),倾斜角为?的直线(如图)的参数方程是
?x?x0?tcos? (t为参数)?y?y?tsin?0?????这里直线l的方向向量可以选定为(cos?,sin?),由P0P?t(cos?,sin?)引出直线的标准式参数方程,进而引入参数t的几何意义 (2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k?tan??b的直线l的参数方程是 a?x?x0?at(t为参数) ② ?y?y?bt0?在一般式②中,参数t不具备标准式中t的几何意义,若a?b?1,②即为标准式,此时, t表示直线
22a?bt a?b?1,则动点P到定点P上动点P到定点P的距离;若00的距离2222?x?x0?tcos?l直线参数方程的应用:设过点P (t为参数)0(x0,y0),倾斜角为?的直线的参数方程是?y?y?tsin?0?l若P1,P2是上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则
(1) P1,P2两点的坐标分别是(x0?t1cos?,y0?t1sin?) ,(x0?t2cos?,y0?t2sin?) ; (2) PP12?t1?t2;
P所对应的参数为t,则t?(3)线段PP12的中
极坐标习题精练及答案
坐标系
一、选择题
1.将点的直角坐标(-2,23)化成极坐标得( ). A.(4,
2?3) B.(-4,
2?3) C.(-4,
?3) D.(4,
?3)
2.极坐标方程 ??cos?=sin2?( ?≥0)表示的曲线是( ). A.一个圆
21+cos?
B.两条射线或一个圆 D.一条射线或一个圆
C.两条直线
3.极坐标方程? =A.y2=4(x-1) C.y2=2(x-1)
化为普通方程是( ).
B.y2=4(1-x)
D.y2=2(1-x)
π44.点P在曲线 ? cos??+2? sin??=3上,其中0≤??≤A.直线x+2y-3=0 C. 圆(x-2)2+y=1
,?>0,则点P的轨迹是( ).
B.以(3,0)为端点的射线
D.以(1,1),(3,0)为端点的线段
5.设点P在曲线 ??sin ??=2上,点Q在曲线 ?=-2cos ?上,则|PQ|的最小值为 ( ).
A.2
B.1
C.3
2D.0
1226.在满足极坐标和直角坐标互的化条件下,极坐标方程?2=?x?= ?坐标系下的伸缩变换??y?=?1233x3cos? +4sin?经过