gauss消元法的计算量

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消元法解题

当一个题目中含有两个或两个以上的未知数时，我们可以通过比较条件，分析对应的未知数量的变化情况，设法消去其中的一个未知数量，从而把一道数量关系复杂的题目变成简单地题目解出来，这种解题方法就是消元法。解答时注意以下几点：

1、把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去。

2、如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同，然后消去这个量。 3、解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意。

重点点拨：

例1、3袋大米和5袋面粉共重135千克；9袋大米和4袋面粉共重240千克。求每袋大米重多少千克？每袋面粉重多少千克？

例2、买4个水瓶和10个水杯要用112元钱，若买同样的3个水瓶和8个茶杯要用86元钱。水瓶和茶杯的单价各是多少元？

例3、学校第一次购买了6个排球和6个足球，共用去366元，第二次购买了同样的5个排球和4个足球，共用去269元。每个排球多少元？每个足球多少元？

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例4、购买5千克苹果和3千

例：用Gauss 列主元消去法、QR 方法求解如下方程组：

12342212141

312.4201123230x x x x ?????? ? ? ?- ? ? ?= ? ? ?-- ? ? ???????

1. 1）Gauss 列主元法源程序：

function x=Gauss(A,b)

[m,n]=size(A);

if m~=n

error('矩阵不是方阵')

return

end

B=[A,b];

n=length(A);

for j=1:n-1

q=[zeros(j-1,1);B(j:n,j)];

[c,r]=max(abs(q)); %c 为列主元，r 为所在行

if r~=j

temp=B(j,:); %交换两行

B(j,:)=B(r,:);

B(r,:)=temp;

end

for i=j+1:n

B(i,:)=B(i,:)-B(j,:)*(B(i,j)/c);

end

end

x(n)=B(n,n+1)/B(n,n);

for i=n-1:-1:1

for j=i:n-1

B(i,n+1)=B(i,n+1)-B(i,j+1)*x(j+1);

end

x(i)=B(i,n+1)/B(i,i);

end

2)在命令窗口输入A

高斯消元法_实验报告

华

科 技 大数值分析实验报告

学号 姓名 类别硕士

2013年5月6日

中 学

高斯消元法_实验报告

实验6.1

实验要求：

根据教材实验6.1做出相应改编：分别使用Gauss消元、列选主元。全选主元的方法求解线性方程组，分别比较三种消元方法的结果和算法的区别，并说明主元的选取在Gauss消元的中的作用。 问题提出：

Gauss消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。一般来说书本上采用的列选主元的办法对其线性方程组进行求解的，那么我们是否可以选择一种行列都选取主元消去的办法来减小相应的误差呢？全主元消元法和列主元消元

法一样都是由高斯消元法演变而来。只不过选取主元的范围有所加大。全选主元相对于列选主元的更加复杂化了，因为在运算的过程中导致了元的位置发生了变化，这样我们就不得不追踪每个元的位置。本次实验就几个问题进行了matlab实验分析，比较几种计算方法的优劣性。

实验内容：

考虑线性方程组

Ax b,A Rn n,b R

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第二十讲 用消元法解应用题

一、精典例题

例：买4个篮球，6个排球，共用380元。买2个篮球，6个排球，共用280元。每个篮球和每个排球各多少元？ 运用条件简化法：

4个篮球＋6个排球＝380元 －2个篮球＋6个排球＝280元 2个篮球 ＝100元

篮球单价：100元÷2＝50元

排球单价：（380－50×4）÷6＝30元 或 （280－50×2）÷6＝30元

二、知识要点

1、消元法：在较复杂的应用题中，有的包含着两个或两个以上要求的量，解答时，先想法消去一个要求的量，再求出另一个量，然后求出消去的量。这种方法叫做消元法。

2、解题方法：利用条件简化法，设法将其中的一个未知量消去，先求出另一个未知量，进而求出消去的未知量。（等量代换、加减消元法、列表法）

三、练习题

1、一班和二班共有84人，二班和三班共有87人，一班和三班共有89人，三个班各有多少人？

2、明明和婷婷用自己的压岁钱购买学习用品，明明买2支铅笔，5个笔记本，用去7元；

1) Chemdraw画出相应结构式，注意芳香性分子的结构应用“”

表示，分子结构完成之后与正常情况下画出分子相比较，看看有没有缺少C或者H原子。

2) 确认结构无误后，将芳香性分子粘贴到Chem3D Ultra 8.0中(ChemBio3D Ultra 12.0中无MOPAC且粘贴后分子容易出错)

3）点击MOPAC→minimize energy

4) 点击run之后，得到半经验计算构象

5) 点击Gaussian→create input file

此处计算的是自由基负离子所以只能选择open shell，unrestricted open shell表示分别计算α和β电子，自由基阴离子net=-1，spin为2，自旋多重度=2S+1，即单电子数目加1

6)点击create之后弹出保存按钮对话框，保存成.gjf文件

7)启动GaussView5.0，file→open打开刚才保存的.gjf文件

8)calculate→Gaussian calculation setup

此处选择optimization，收敛标准选择use tight convergence criteria

Method选择基态；charge=-1，spin=2；选择极

第3章

线性方程组

一、高斯—若尔当消元法 二、向量组的线性相关性 三、向量组的秩 四、线性方程组解的判定 五、线性方程组解的结构首页 上 页 下 页 尾 页

第一节 高斯—若尔当消元法

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方程组 AX b a11 a21 其中 A a m1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 ,X , b x b amn n m

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 就是 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 首页 上 页 下 页 尾 页

齐次方程组：AX = 0; 非齐次方程组：AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零) x1 x2 X x n

为AX = b的解： AX =

8.2消元-----解二元一次方程组

8.2.1代入消元法

教学目标： 知识和技能

1. 用代入法解二元一次方程组。

2. 理解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想。

3. 会用二元一次方程组解决实际问题。 过程与方法

通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程，深刻体会到转化的作用，发展学生的抽象思维能力，培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力。 情感、态度与价值观

1、 了解二元一次方程组的“消元”思想、初步理解“化未

知为已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信心。 2、 培养学生合作交流、自主探索的良好习惯。

3、 在用方程组解决实际问题的过程中，提样数学的实用

性，激发学生学习数学的兴趣。 重点难点

重点：用代入法解二元一次方程组

难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元

1

过程。 教学准备

多媒体课件、教案、课本 教学方法

归纳法、讨论法、引导法、激励法 教学过程

一、 创设情境，引入新课 教师出示下列问题： 问题1：

篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜

第3章

线性方程组

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第一节 高斯—若尔当消元法

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方程组 AX b a11 a21 其中 A a m1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 ,X , b x b amn n m

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 就是 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 首页 上 页 下 页 尾 页

齐次方程组：AX = 0; 非齐次方程组：AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零) x1 x2 X x n

为AX = b的解： AX =

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第2章矩阵

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数学实验 作业

一、矩阵LU分解：

function [L,U,p]=lutx(A) [n,n]=size(A); p=(1:n)'; for k=1:n-1

[r,m]=max(abs(A(k:n,k))); m=m+k-1; if (A(m,k)~=0) if (m~=k)

A([k m],:)=A([m k],:); p([k m])=p([m k]); end i=k+1:n;

A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); j=k+1:n;

A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j); end end

L=tril(A,-1)+eye(n,n) U=triu(A) p end

高斯消元法求解方程： n=3;

a=[1 2 3 ;4 5 6 ;7 8 9 ]; b=[17 18 19]; l=eye(n); y=1;

for i=1:(n-1) for j=1:(n-i) if a(j+(i-1)*n+y)~=0 l(j+(i-1)*n+y)=a(j+(i-1)*n+y)/a(j+(i-1)*n+y-j) for k=1:(n-i+1) a(j+(i-1)*n+y+(k-1)*n