极坐标和直角坐标的互化方法

2 极坐标系与直角坐标系的互化

一、导学目标：

知识与技能: 掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，会实现极坐标和直角坐标之间的互化 过程与方法: 通过互化关系式，会实现极坐标和直角坐标之间的互化转化。 情感态度与价值观: 同一点的不同坐标的相互转化，对立统一的辩证唯物主义思想在数学中的体现。

导学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解； 导学难点：互化关系式的掌握 二、导学策略：

教学方法：探究法、讲授法 教学手段：多媒体辅助教学 三、教学过程：

（一）、课题导入：

1、练习导入：在极坐标系中描出下列各点：

????3?5?11?A(3,)，B(2,)，C(1,?)，D(?3,)，E(2,)，F(2,?)，G(2,)

62244442、问题:极坐标系是怎样定义的？极坐标系与直角坐标系有何异同? （二）、新知探究：

思考： 平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )，这个点如何用极坐标表示? 探究结果：在直角坐标系中，以原点作为极点，

M x轴的正半轴作为极轴，并且两种坐标系

y 中取相同的长度单位。

点M的直角坐标为（1，3），设点M的极坐标为(ρ,θ)

2??12?（3）?2，tan??3?3， 1O ??

∵点M在第一象限，∴θ=，∴M

2 极坐标系与直角坐标系的互化

一、导学目标：

知识与技能: 掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，会实现极坐标和直角坐标之间的互化 过程与方法: 通过互化关系式，会实现极坐标和直角坐标之间的互化转化。 情感态度与价值观: 同一点的不同坐标的相互转化，对立统一的辩证唯物主义思想在数学中的体现。

导学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解； 导学难点：互化关系式的掌握 二、导学策略：

教学方法：探究法、讲授法 教学手段：多媒体辅助教学 三、教学过程：

（一）、课题导入：

1、练习导入：在极坐标系中描出下列各点：

????3?5?11?A(3,)，B(2,)，C(1,?)，D(?3,)，E(2,)，F(2,?)，G(2,)

62244442、问题:极坐标系是怎样定义的？极坐标系与直角坐标系有何异同? （二）、新知探究：

思考： 平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )，这个点如何用极坐标表示? 探究结果：在直角坐标系中，以原点作为极点，

M x轴的正半轴作为极轴，并且两种坐标系

y 中取相同的长度单位。

点M的直角坐标为（1，3），设点M的极坐标为(ρ,θ)

2??12?（3）?2，tan??3?3， 1O ??

∵点M在第一象限，∴θ=，∴M

第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化

一、 教学目标

掌握极坐标与直角坐标的互化

二、教学重点

对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用

三、教学难点

极坐标与直角坐标的互化的运用

四、教学过程

1. 创设情境引入

Ｔ：上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子.

假设点M 在平面直角坐标系中的的坐标为(),x y ,现在以直角坐标的原点作为极点, ox 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点M 的极坐标为(),ρθ

则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系:

cos sin x y θθ

ρρ??=??=?（这里注意解释点M 在不同象限也是成立的）

ρ,tan (0)y x x

θ=≠ 这里规定:0,02ρθπ≥≤<

Ｔ：于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系，根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。

Ｔ：但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提？

Ｔ：（１）极坐标的极点和直角坐标的原点相同；

（２）而极坐标的极轴与直角坐标的ｘ正半轴要相同；

（３）两坐标取相同的长度单位。

否则不能用上面的换算公式。

根据上面的换算公式来解一下例１

例1．（1）把点M 的极坐标)3

2,

极坐标系与平面直角坐标系的互化

典题探究

例1 将点M 的极坐标2(5,)3π 化成直角坐标. 例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.

例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,

2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。

例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,

),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ?的面积.

演练方阵

A 档（巩固专练）

1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )．

A ．(4，32π)

B ．(－4，32π)

C ．(－4，3π)

D ．(4，3

π) 2．点M 的极坐标是(2，3

π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(?3，1) C ．(3，1) D ．(?1，3)

3．极坐标方程

cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆

B ．两条射线或一个圆

C ．两条直线

D ．一条射线或一个圆

4．极坐标方程θ

ρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )． A ．y 2＝4(x －1)

B ．y 2＝4(1－x )

C ．y 2＝2(x －1)

D ．y 2＝2(1－x )

5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为

平面直角坐标系

1.AB关于x轴对称（a,-b）;2.关于y轴对称（-a,b）3.关于原点...（-a,-b）4.关于一三象限角平分线（b,a）5.关于二四象限角平分线（-b,-a）6.两点间距离______________________.7.k=________________. 2.特殊三角形顶点坐标：1.代数 2.两圆一线 3.坐标系中图形面积：分割法/割补法→底乘高除以二→求两点间距离→求点→利用已知点求解析式代入

1.如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x相交，其中a＞0．则图中阴影部分的面积是________．

2.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=-x+m与x、y轴的正半

轴分别相交于点A、B，过点C（-4，-4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．

（1）求点D的坐标和直线l的解析式； （2）求证：△ABC是等腰直角三角形；

（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所

难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)

——掌握不同规律，以不变应万变

◆类型一 沿坐标轴运动的点的坐标的探究

1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)??按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．

2．如图，平面直角坐标系上的点A(1，0)第1次跳至点A1(－1，1)，第2次跳至点A2(2，1)，第3次跳至点A3(－2，2)，第4次跳至点A4(3，2)??依此规律跳下去，点A第100次跳至的点A100的坐标是________．

第2题图 第3题图

3．★如图，一个动点在第一象限内及x轴、y轴上运动，第1分钟从原点运动到(1，0)，第2分钟内从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向来回运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．

(1)当动点所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________； (2)在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是________． ◆类型二 绕原点呈“回”字形运动

平面直角坐标系

一、选择题:(每小题3分,共12分) 1.如图1所示,点A的坐标是 ( )

A.(3,2); B.(3,3); C.(3,-3); D.(-3,-3) 2.如图1所示,横坐标和纵坐标都是负数的点是 ( ) A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 3.如图1所示,坐标是(-2,2)的点是 ( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 4.若点M的坐标是(a,b),且a>0,b<0,则点M在( ) A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限 二、填空题:(每小题3分,共15分)

1.如图2所示,点A的坐标为_______,点A关于x轴的对称点B的坐标为______, 点B关于y轴的对称点C的坐标为________.

2.在坐标平面内,已知点A(4,-6),那么点A关于x轴的对称点A ′的坐标为_____,点A关于y轴的对称点A″的坐标为_______.

3.在坐标平面内,已知点A(a,b),那么点A关于x轴的对称点A ′的坐标为______,点A关于y轴的对称点A″的坐标为_____.

(1)

4.点A(-3,2)在第_______象限,点D(-3,-2

八年级数学（上）导学案 金安苑学校八年级数学备课组 §3.2.2平面直角坐标系 第___课时 主备人：赵如山 审核人：段金宾 学科组审核：________教导处审核：_______

学习目标

1．知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征. 2．知道不同象限点的坐标的特征。

3．经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系，发展数形结合意识。

学习重难点

重点：通过画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，知道不同象限点的坐标的特征，理解坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。 难点：能准确说出坐标系内点的特征。

学习过程 一、自主预习

１．如图，A点的坐标是_________，位于第______象限；C点的坐标是_________，位于第______象限；D点的坐标是_________，位于第______象限。

２．在图中再画出点E（-3，-1）的坐标，点E位于第______________象限。

3.在作业本上画出平面直角坐标系中，描出下列各点，并依次连线： A（4，

平面直角坐标系题型归纳总结

【】

一、直角坐标中点的坐标规律探究题 例题讲解：

1. 如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（ ） A． (13，13) B． (?13，?13) C． (14，14) D． (?14，?14)

2. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“?”方向排列，如（0，0）?（1，0）?（1，1）?（2，2）?（2，1）?（2，0）?根据这个规律探索可得，第100个点的坐标是 . 3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线 A1C和OB1交于点M1； 以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对 角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；……依此类推，这样作的 第n 个正方形对角线交点Mn的坐标为（ ）.

11?A．?1?n,n?2211?11?1?????1 B． C． D． 1?

第一课时：有序数对 预习目标

１． 现实情景感受利用有序数对表示位置的广泛性，能利用有序数对来表示位置。

２． 感受到可以用数量表示图形位置，几何问题可以转化为代数问题，形成形数结合的意识。 重点、难点

重点：理解有序数对的概念，用有序数来表示位置。

难点：理解有序数对是“有序的”，并用它解决实际问题。 1、“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。”

76543211243纵排56横排

学生通过合作交流后得到共识:规定了两

个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考:

(1)怎样确定教师的位置?

（2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗？（2，4）和（4，2）在同一位置。

（3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。

2、我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做 ，记作 。

一般地，若a≠b，（a,b）与（b,a）表示的位置相同吗？举例说明？

第二、三课时：平面直角坐标系 预习目标

1.在复习数轴有关知识的基础上,使学生理解平面直角坐标系的有关概念,并会正确地画出直角坐