导数的定义解题

谈回归定义的解题功能

沈作翔 孙伟奇

(浙江省奉化中学 315500)

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括与反映，是我们进行判断和推理的逻辑单元，它既是推导公式、定理的依据，也是解题的一把金钥匙．本文就回归定义的解题功能谈谈自己的管见．

一、辨误功能

数学中的概念反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,是数学公式、法则、定理的应用的出发点和前提，因此用定义来辩误是再自然不过的了．

例1、把红 、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是

A、对立事件 B、不可能事件 C、互斥但不对立事件 D、以上均不对 错误答案：A

剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现 在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适合用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生：而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同

谈回归定义的解题功能

沈作翔 孙伟奇

(浙江省奉化中学 315500)

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系的本质属性的概括与反映，是我们进行判断和推理的逻辑单元，它既是推导公式、定理的依据，也是解题的一把金钥匙．本文就回归定义的解题功能谈谈自己的管见．

一、辨误功能

数学中的概念反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,是数学公式、法则、定理的应用的出发点和前提，因此用定义来辩误是再自然不过的了．

例1、把红 、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是

A、对立事件 B、不可能事件 C、互斥但不对立事件 D、以上均不对 错误答案：A

剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现 在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适合用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生：而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同

毕 业 论 文

（ 2010 届）

题 目 导数在解题中应用

学 院 数学计算机学院 专 业 数学与应用数学（师范） 年 级 2006级 学生学号 学生姓名 指导教师

导数在解题中的应用

数学计算机学院数学与应用数学（师范）专业 2010届 虎宁

摘 要: 本文通过导数的基本理论来解决数学中的相关问题，通过例题从简单应用和综合应用来说明导数在解题中的应用，如在数列、函数、不等式证明、实际问题、数列求和等方面的应用。

关键词：导数；函数；单调性；最值；数列 中图分类号：017

The Application of Derivative in Solving

problems

Abstract:In this paper, we discuss some problems in mash by the th

特级教师高考理数导数题型分析及解题方法总结

一、考试内容(重点)

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

32f(x)?x?3x?2在区间??1,1?上的最大值是 2 1．

22．已知函数y?f(x)?x(x?c)在x?2处有极大值，则常数c＝ 6 ；

33．函数y?1?3x?x有极小值 －1 ,极大值 3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

3??1,?3?处的切线方程是 y?x?2 y?4x?x1．曲线在点

42．若曲线f(x)?x?x在P点处的切线平行于直线3x?y?0，则P点的坐标为 （1，0）

4y?x3．若曲线的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为 4x?y?3?0

4．求下列直线的方程：

322 （1）曲线y?x?x?1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y?x过点P(3,5

第十讲 导数题的解题技巧

【命题趋向】导数命题趋势：

综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：

（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.

（2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.

分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.

【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

例1．（2007年北京卷）f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 ． 32[考查目的] 本题主要

导数相关论文

第２０豢第ｌ期河南教育学院学报（自然科学版）Ｖ０１．２０Ｎｏ．１２０１１年３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｍａｒ．２０１ｌｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—０８３４．２０１１．０１．００６

导数定义公式的一个推广及其应用研究

程万里１，刘讲军１，刘志红２，周永涛１，程银行３

（１．郑州交通学院基础部，河南部！｝１１４５００６２；２．郑州经贸学院计算机科学系，河南郑州４５００５８；

３．中国地质调查局天津地质矿产研究所，天津３００１７０）

（ａ（膏）－．ｏ，卢（善）枷），从而简化了有关导数定义一类问题的求解．摘要：将导数在某一点的定义厂（‰）＝：嘧丛苎二掣推广为厂（‰）＝ｌｉｍ匹兰立竺吾篆｝｝掣

，关键词：导数；定叉；无穷小；郐域’

中圈分类号：０１７２．１文献标识码：Ａ文章编号：１００７—０８３４（２０１１）０１—００１４—０２

１相关的足义与引理

定义１（导数定义）设函数Ｙ－－ｆ（算）在茗。的某邻域内有定义。若极限

＋ｌｉｍ掣：ｌｉｍ丝立掣丛生Ａｌ—．ｏ△茗ｍｏ）－．１ｉ。ｍ盟掣．Ａｚ－－，Ｏ△鼻

存在，则称八算）在‰处可导，并称这个极限值为以互）在石

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导数定义公式的一个推广及其应用研究

程万里１，刘讲军１，刘志红２，周永涛１，程银行３

（１．郑州交通学院基础部，河南部！｝１１４５００６２；２．郑州经贸学院计算机科学系，河南郑州４５００５８；

３．中国地质调查局天津地质矿产研究所，天津３００１７０）

（ａ（膏）－．ｏ，卢（善）枷），从而简化了有关导数定义一类问题的求解．摘要：将导数在某一点的定义厂（‰）＝：嘧丛苎二掣推广为厂（‰）＝ｌｉｍ匹兰立竺吾篆｝｝掣

，关键词：导数；定叉；无穷小；郐域’

中圈分类号：０１７２．１文献标识码：Ａ文章编号：１００７—０８３４（２０１１）０１—００１４—０２

１相关的足义与引理

定义１（导数定义）设函数Ｙ－－ｆ（算）在茗。的某邻域内有定义。若极限

＋ｌｉｍ掣：ｌｉｍ丝立掣丛生Ａｌ—．ｏ△茗ｍｏ）－．１ｉ。ｍ盟掣．Ａｚ－－，Ｏ△鼻

存在，则称八算）在‰处可导，并称这个极限值为以互）在石

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2016考研数学有了它导数解题无忧

[摘要]为了帮助考研学生轻松学习导数题，凯程考研数学老师为同学们带来了，2016考研数学：导数解题万能手册知识点整理。希望你在学习中好好利用我们的知识。 数学是考研最难的一个学科了，而导数是考研数学最难的题型，为了帮助考研学生轻松学习导数题，凯程考研数学老师为同学们带来了，2016考研数学：导数解题万能手册知识点整理。希望你在学习中好好利用我们的知识。

第一，理解并牢记导数定义。导数定义是考研数学的出题点，大部分以选择题的形式出题，01年数一考一道选题，考查在一点处可导的充要条件，这个并不会直接教材上的导数充要条件，他是变换形式后的，这就需要同学们真正理解导数的定义，要记住几个关键点：

1)在某点的领域范围内。

2)趋近于这一点时极限存在，极限存在就要保证左右极限都存在，这一点至关重要，也是01年数一考查的点，我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项。

3)导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告

第十讲 导数题的解题技巧

【命题趋向】导数命题趋势：

综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：

（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.

（2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.

分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.

【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

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考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

例1．（2007年北京卷）f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 ． 32[考查目的] 本题主要

高二数学导数的定义、求导的公式、切线（理）人教实验版（A）

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

导数的定义、求导的公式、切线

二. 重点、难点： 1. 定义：f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?x2. 初导函数的导数公式 （1）f(x)?c ∴ f?(x)?0 （2）f(x)?xn ∴ f?(x)?n?xn?1 （3）f(x)?sinx ∴ f?(x)?cosx （4）f(x)?cosx ∴ f?(x)??sinx

（5）f(x)?ax ∴ f?(x)?axlna（a?0且a?1） （6）f(x)?logax ∴ f?(x)?logae?3. 导数运算

（1）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)

（2）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) （3）[1 xf(x)f?(x)g(x)?f(x)?g(x) ]??g(x)g2x??（4）y?x?yuux

4. y?f(x)在x?x0处的切线方程

y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

【典型例题】

2[例1] 利用导数的定义求函数y?x的导数，并求该函数在x?3处