线性方程组直接解法和迭代解法

数值分析第二次上机实习报告

——线性方程组迭代解法

一、问题描述

设 Hn = [hij ] ∈ Rn×n 是 Hilbert 矩阵, 即

hij=

对n = 2,3,4，…15, 1 i+j 1

1 x ∈Rn×n，及bn=Hnx，用SOR迭代法和共轭梯度法来求解，并与直取=

1

接解法的结果做比较。

二、方法描述

1. SOR迭代法

记H = D – L – U，SOR法的分量形式可以写成向量形式

x(k+1)=(1 ω)x(k)+ωD 1(b+Lx(k+1)+Ux(k))

(D ωL)x(k+1)=[(1 ω)D+ωU]x(k)+ωb

整理成

x(k+1)=Lwx(k)+ω(D ωL) 1b

其中，Lw为SOR法的迭代矩阵：

Lw=(D ωL) 1[(1 ω)D+ωU]

这相当于方程组Hx=b的系数矩阵分裂为H = M – N，其中

=M

N=1ω1(D ωL)

ω[(1 ω)D+ωU]

由此得到等价方程组x = M-1Nx+M-1b，利用它构造迭代法。

2. 共轭梯度法

梯度法通常的做法是先任意给定一个初始向量，然后确定一个搜索的方向和搜索步长，如此循环直到找到极小值。共轭梯度法是从整体来寻找最佳的搜索方向。它的第一步是取负梯度方向作为搜索方

用迭代法阶线性方程组

第4章 解线性方程组的迭代法直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n3 数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适(n<400),但是对于现 在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵往往是系数矩阵 就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时 间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。 迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一样，需要我们构造一 个等价的方程，从而构造一个收敛序列，序列的极限值就是方程组的根

用迭代法阶线性方程组

对方程组 如：令

Ax = b

做等价变换

x = Gx + g

A = M N ,则 Ax = b ( M N ) x = b Mx = b + Nx x = M 1 Nx + M 1b则，我们可以构造序列 若 同时：

x ( k +1) = G x ( k ) + g

x ( k ) → x * x* = G x * + g Ax* = b

x ( k +1) x* = Gx ( k ) Gx* = G ( x ( k ) x*) = = G k

第三章 线性方程组的数值方法

在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为求解线性代数方程组.

?a11x1?a12x2??a1nxn??a21x1?a22x2??a2nxn???ax?ax??ax?n11n22nnn?b1?b2??bn

当它的系数行列式不为零时，由克莱姆法则可以给出方程组的唯一解，但是这一理论上完 善

的结果，在实际计算中可以说没有什么用处。因此如何建立在计算机上可以实现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义。这些方法大致可分为两类：一类是直接法，就是经过有限步算术运算,可求得方程组精确解的方法(如果每步计算都是精确进行的话)；另一类是迭代法，就是用某种极限过程去逐步逼近其精确解的方法.

本章将阐述这两类算法中最基本的高斯消元法及其变形、矩阵分解法、雅可比迭代法、高斯 -塞德尔迭代法等.

第一节 高斯消元法

一 回代过程

 设系数矩阵为n阶上三角矩阵的线性方程组

?a11x1?a12x2??a1nxn?a22x2??a2nxn????annxn?如果a11,a22,...ann都

?b1?b2??bn (1)

(1)自下而上可以逐次求出xn,xn?1,...x1为

第三章 线性方程组的数值方法

在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为求解线性代数方程组.

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当它的系数行列式不为零时，由克莱姆法则可以给出方程组的唯一解，但是这一理论上完 善

的结果，在实际计算中可以说没有什么用处。因此如何建立在计算机上可以实现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义。这些方法大致可分为两类：一类是直接法，就是经过有限步算术运算,可求得方程组精确解的方法(如果每步计算都是精确进行的话)；另一类是迭代法，就是用某种极限过程去逐步逼近其精确解的方法.

本章将阐述这两类算法中最基本的高斯消元法及其变形、矩阵分解法、雅可比迭代法、高斯 -塞德尔迭代法等.

第一节 高斯消元法

一 回代过程

 设系数矩阵为n阶上三角矩阵的线性方程组

?a11x1?a12x2??a1nxn?a22x2??a2nxn????annxn?如果a11,a22,...ann都

?b1?b2??bn (1)

(1)自下而上可以逐次求出xn,xn?1,...x1为

高等代数课程设计,

**大学理学院

本科考查（课程论文）专用封面

学年学期：2019-2020学年第1学期

课程名称：高等代数

任课教师：**

论文/作业题目：《线性方程组及其矩阵解法》

年级专业：19数学类

姓名学号：************

提交时间：2019.12.15

评阅成绩：

评阅意见：

阅卷教师签名：2020年1月4日

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

摘要

解方程是代数中一个基本的问题，对于多元一次方程组，用矩阵来求解及讨论其的是否有解，是否只有唯一解和多解之间的解的结构问题是一个相对简便和可行的办法。本文主要列出矩阵和多元线性方程组性质和概念，对其定理进行证明和讨论，然后找出定理的推论进行归纳总结。最后提出个人的思考与留下的疑问。

关键词：高等代数；线性方程组；矩阵；性质；证明；思考

Abstract

Solving equations is a basic problem in algebra. For multivariate linear equations, the matrix is used to solve and discuss whether there is a solution, whether there is only one

线性方程组解法的探究

摘 要线性方程组源自于生活中一些未知元素的一系列特定的关系而转化成的

一组数据关系。对其进行求解可以解决一些方案的设计问题，例如给以新品的开发的多种原料的成分设计提供多种不同的配方。本文将以多种方法对线性方程组求解，并讲诉线性方程组的类别。

关键词

齐次线性方程组 非齐次线性方程组 克拉默（Cramer）法则

Gauss消去法 广义逆矩阵 减号逆矩阵 增广矩阵 矩阵的初等行变换 矩阵的秩

引言

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用迭代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。广义逆的思想可追

线性方程组的解法及其应用

摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，广义逆矩阵方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合.

关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例

The Solution of Linear Equations and Its Applications

Name: Zhao Tao Student number: 200840510158 Advisor: Chu Yawei

Abstract: Linear equations is one of the core content of linear algebra, the study of its solution is a classic andimportant research topic in algebra. This paper reviews several

实验六 线性代数方程组的直接解法

实验名称：线性代数方程组的直接解法 实验类型: 验证性实验 学 时：

6.1实验环境

① 操作系统：WindowsXP/Win7 ② 编程环境：C/C++语言

6.2实验目的

① 掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤； ② 了解高斯消去法可能遇到的困难。

6.3实验原理和方法

6.3.1 高斯消去法基本原理。

设有方程组Ax?b，设A是可逆矩阵。高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵B??A?b?（即消元过程），将其中的A变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组（即回代过程）。

6.3.2 列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵B??A?b???aij?步骤1：消元过程，对k?1,2,?,n?1 （1） 选主元，找ik??k,k?1,?,n?使得

aik,k?maxaik

k?i?nn?(n?1)表示。

（2） 如果aik,k?0，则矩阵A奇异，程序结束；否则执行（3）。

kakj?aij，j?k,?,n?1。（3） 如果ik?k，则交换第k行与第ik行对应元素位置，

（4） 消元，对i?k?1,?,n，计算mik?a

实验六 线性代数方程组的直接解法

实验名称：线性代数方程组的直接解法 实验类型: 验证性实验 学 时：

6.1实验环境

① 操作系统：WindowsXP/Win7 ② 编程环境：C/C++语言

6.2实验目的

① 掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤； ② 了解高斯消去法可能遇到的困难。

6.3实验原理和方法

6.3.1 高斯消去法基本原理。

设有方程组Ax?b，设A是可逆矩阵。高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵B??A?b?（即消元过程），将其中的A变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组（即回代过程）。

6.3.2 列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵B??A?b???aij?步骤1：消元过程，对k?1,2,?,n?1 （1） 选主元，找ik??k,k?1,?,n?使得

aik,k?maxaik

k?i?nn?(n?1)表示。

（2） 如果aik,k?0，则矩阵A奇异，程序结束；否则执行（3）。

kakj?aij，j?k,?,n?1。（3） 如果ik?k，则交换第k行与第ik行对应元素位置，

（4） 消元，对i?k?1,?,n，计算mik?a

习题3

3.1 设有方程组

?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20 ?2x?3x?10x?3123?(1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当x

3.2 设有方程组

?a11x1?a12x2?b1, (a11,a12?0) , ?ax?ax?b2222?211(k?1)?x(k)??10?4时迭代终止。

迭代公式

1?(k)(k?1)x?(b?ax)11122??a11 , k?1,2,?. ?1(k)(k?1)?x2?(b2?a21x2)?a22?求证由上述迭代公式产生的向量序列?x(k)?收敛的充要条件是

a12a21a11a22???1.

?1?3.3 给定方程组?a??1收敛。

a200??0?1???x1??1?????x?0?2???，确定a的取值范围，使方程组对应的Jacobi迭代??x3????1??

(k?1)(k)?x3.4 用SOR方法解下列方程组（取松驰因子??1.2）,要求x??10?4.

?2x1?x2?1. ?x?4x?52?1

?1a?23.5 给定线性方程组AX=b，其中A???