数学建模数据拟合

曲线拟合

某年美国旧车价格的调查资料如下表所示，其中下xi表示轿车的使用年数，

yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并计算使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？

xi yi 1 2 3 4 5 6 538 7 484 8 290 9 226 10 204 2615 1943 1494 1087 765 （1）画粗糙曲线 运行程序

x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

y1=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204]; plot(x1,y1,'o') 运行结果

假设曲线方程y=a*e?kx方程两边取对数lny=lna-kx

令t=lny,m=-k,n=lna,拟和曲线t=n+mx 执行以下程序拟和求得参数 x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

y1=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204]; t=log(y1); aa=polyfit(x1,t,1) 运行结果 aa =

-0.2969 8.1591 即得y1=e^(-0.2969*x+8.1591) 运行程序得到精确曲线 x

插值与拟合方法

数学建模社团活动

主讲人：赵振刚

第一章 插值与拟合方法一般插值方法； 样条函数与样条插值方法； 磨光法与B样条函数； 最小二乘拟合方法； 应用案例分析与应用练习.

2

2013年11月24日

一、一般插值方法1.一般问题的提出实际中不知道函数 y f (x) 的具体表达式， 由实验 测量对于 x xi 有值 y yi (i 0,1,2, , n) ,寻求另一 函数 (x) 使满足： ( x i ) yi f ( xi ) 。此问题称为插值问题， 并称 (x) 为 f (x) 的插值 函数； x 0 , x1 , x2 , , xn 称为插值节点；

( x i ) yi (i 0,1,2, , n) 称 为 插 值 条 件 ， 即 ( x i ) yi f ( xi ) ,且 ( x) f ( x) 。3 2013年11月24日

一、一般插值方法2. Lagrange插值公式设函数 y f (x) 在 n 1 个相异点 x 0 , x1 , x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1 , y 2 , , yn ,要求一个次数

. . . . .

插值和拟合

实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。

实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。

实验内容：

一、插值

1．插值的基本思想

·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生；

·构造一个相对简单的函数y=P(x)；

·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；

·用P (x)作为函数f ( x )的近似。

2．用MA TLAB作一维插值计算

yi=interp1(x，y，xi，'method')

注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。

练习1：机床加工问题

x 0 3 5 7 9 11 12

数学建模插值与拟合实验题

1. 处理2007年大学生数学建模竞赛A题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形

（1）对1994-2005年出生婴儿的性别比进行拟合，并以此预测2006-2015年间的性别比。

（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各年的育龄妇女生育率进行拟合；

（3）按时间分布对城、镇、乡生育率进行分析，以时间为自变量，生育率为因变量，对城、镇、乡的生育率进行拟合，并预测2006-2015年间的生育率。

（4）将某年的城镇化水平PU(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之

比,Karmeshu(1992年)研究发现20世纪50年代以来发达国家随着经济发展水平的提高，城镇人口的增长相对农村要快一些，但是随着城镇化水平的提高，并趋向100%时，速度会减缓，城镇化水平的增长曲线大致表现为一条拉伸的“S”型Logistic曲线[4]，对附录2中所给出2001年—2005年中国人口1%调查数据进行曲线拟合，求得该曲线，并绘制2001-2050年的城镇化水平的曲线图。

2. 处理2011年大学生数学建模竞赛A题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中的数据，完成下列问题

（1

北京交通大学毕业设计（论文）

数据拟合方法研究

中文摘要

在我们实际的实验和勘探中，都会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。

本文介绍了几种常用的数据拟合方法，线性拟合、二次函数拟合、数据的n次多项式拟合等。并着重对曲线拟合进行了研究，介绍了线性与非线性模型的曲线拟合方法，最小二乘法、牛顿迭代法等。在传统的曲线拟合基础上，为了提高曲线拟合精度，本文还研究了多项式的摆动问题，从实践的角度分析了产生这些摆动及偏差的因素和特点，总结了在实践中减小这些偏差的处理方法。采用最小二乘法使变量转换后所得新变量离均差平方和最小，并不一定能使原响应变量的离均差平方和最小，所以其模型的拟合精度仍有提高的空间。本文以残数法与最小二乘法相结合，采用非线性最小二乘法来得到拟合效果更好的曲线模型。随着计算机技术的发展，实验数据处理越来越方便。但也提出了新的课题，就是在选择数据处理方法时应该比以往更为慎重。因为稍有不慎，就会非常方便地根据正确的实验数据得出不确切的乃至错误的结论。所以提高拟合的准确度是非常有必要的

关键词：数据拟合、最小二乘法、曲线拟合、多项式摆动、

辽宁工程技术大学上机实验报告

实验名称 院系 姓名 成绩 数据拟合 二次元 霸裁君 专业 学号 图库 2822186764 班级 日期 10-1 2010.1.1 简述本次实验目的： 实验 目的 [1] 了解最小二乘拟合的基本原理和方法； [2] 掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法； [3] 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。 你为本次实验做了哪些准备： 上课认真听课，认真做笔记。在做实验之前，翻阅笔记，回顾上课所讲的内容，有不会的问同学。 实验 准备 实验 进度 本次共有 4 个练习，完成 4 个。 本次实验的收获、体会、经验、问题和教训： 通过这次实验，我了解了最小二乘拟合的基本原理和方法并掌握了用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法，还通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。MATLAB是一个很方便的软件，只要掌握了具体的方法，就可以不用担心算出的结果是错的。 实验 总结 教师 评语 1、假定某天气温变化记录如下表，试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律，考虑下列类型函数函数，作图比较效果。 时刻t(h) 0 1 2

数学建模与数学实验

课程设计

学 院 班 级 学生姓名

数理学院

专 业 学 号 指导教师

数学与应用数学

2015年6月

数据的统计描述

一． 摘要

问题：某校60名学生的一次考试成绩如下：

93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、偏差、峰度，画出直方图； （2）检验分布的正态性；

（3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。

模型：正态分布

方法：随着研究随机现象规律性的科学-概率论的发展，数理统计应用概率

论的结果更深入的分析研究统计资料，通过对某些现象的频率的观察来发现该现象的内在规律性，并作出一切精确程度的判断和预测；将这些研究的某些结果加以归纳整理，逐

人口预测与数据拟合

1、摘要：

随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。

问题给出了1790—2000年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数和人口增长率的变化。预测美国未来的人口。

首先，人口增长率是变化值。对于问题(1)假设了人口上限因此我们选择建立Logistic模型(模型1)

其次，根据表中的人口数据，进行曲线拟合(模型2)，通过Matlab进行人口预测。

关键词：预测模型 人口增长率 Logistic 2、实验问题：

1970年到1980年间美国人口数的统计数据如表所示 年1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 份 统3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 计 年1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 份 统62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 计 （1）

Matlab绘图及 曲线拟合

Mat lab 绘图

图形的基本属性

图形的其他属性

上机练习

用Matlab进行数据拟合1. 多项式曲线拟合: polyfit. p=polyfit(x,y,m) 其中, x, y为已知数据点向量, 分别表示横,纵坐 标, m为拟合多项式的次数, 结果返回m次拟合 多项式系数, 从高次到低次存放在向量p中.

y0=polyval(p,x0)可求得多项式在x0处的值y0.

例1 已知观测数据点如表所示x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y -0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2 分别用3次和6次多项式曲线拟合这些数据点. 编写Matlab程序如下:x=0:0.1:1; y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2]; plot(x,y,‘k.’,‘markersize’,25) ;%绘制x-y曲线图，标记大小设置为25 axis([0 1.3 -2 16]);%坐标轴范围x:0到1.3;y:-2到16 p3=polyfit(x,y,3

(封皮页)

北京理工大学

现代数据分析

实验4实验报告

主讲：李明 学生：李经 2012/11/7

(目录页) 实验5

数据拟合 ...................................................................................................... 1 5.1 实验目的 ...................................................................................................... 1 5.2 实验内容 ...................................................................................................... 1

5.2.1 数据分析............................................................................................ 1 5.2.2 弹丸穿靶速度数据分析..........