矩阵方程ax=b有解的充要条件

§1.2 命题及充要条件

2014高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充要条件．

复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．

1． 命题的定义

能够判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题． 2． 四种命题及相互关系

原命题是真命题，则它的逆否命题是真命题． 3． 充分条件与必要条件

(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，且q?p，则p是q的充要条件． [难点正本 疑点清源] 1． 等价命题和等价转化

(1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假；

(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假． 2． 集合与充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有

(1)若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件； (2)若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要

岳阳市外国语学校 高中数学选修2-1说课稿 说课人：鲁辉

1.2充分条件、必要条件与充要条件说课稿

一、教材分析

充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下基础。教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。教科书结合“若p则q”形式的命题给出了充分条件和必要条件的概念，并引入推断符号“?”

从学生学习的角度看，学生对于充分条件和必要条件的理解，需要一定时间的体会，为帮助学生理解概念，教学中要适当举一些数学命题的例子结合具体的数学命题来学习。数学上的充分条件和必要条件，与日常生活中的“充分”“必要”的意义很相近，教学中可以适当借助日常生活中“充分条件”“必要条件”的例子，帮助学生理解充分条件和必要条件。

教材的编写者在数学概念的处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观。当然，一次性给出定义也增加了学生理解上的困难，也是教学中必须突破的难点。基于上述理解，我对本节内容的教学目标和重难点作如下考虑：

二、教学目标

1、知识与技能：理解充分条件、必要条件、充要条件这三个概念，掌握判断充要条件的

高考数学复习资料

高三数学一轮复习学案：充要条件

一．考试要求：

1. 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义。

2. 掌握充分条件、必要条件、充要条件的判定方法。

二、知识梳理：

A={x|x满足条件p}， B. {x|x满足条件q}

若________________，则p是q的充分而不必要条件 A____ B

若________________，则p是q的必要而不充分条件 A____ B

若________________，则p是q的充要条件 A____ B

若________________，则p是q的既不充分也不必要条件

三、基础检测：

1. 对任意实数a，b，c给出下列命题：

① “a=b”是“ac=bc”的充要条件

② “a+5” 是无理数”是“a是无理数”的充要条件

22ab ③ “a>b” 是“>的充分条件

④ “a<5” 是“a<3” 的必要条件 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 已知p: a 0 q: ab 0 则p是q的( )

A.. 充分而不必要条件 B. 必要

第3讲 命题及其关系、充要条件

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

若原命题为“若p ，则q ”，则其逆命题是若q ，则p ；否命题是若綈p ，则綈q ；逆否命题是若綈q ，则綈p ．

(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件

(1)“若p ，则q ”为真命题，记作：p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．

(2)如果既有p ?q ，又有q ?p ，记作：p ?q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．

[做一做]

1．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则有|a |＝|b|”的逆命题是( )

A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |

B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |

C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b

D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b

答案：D

2．命题“若α＝π4

，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4

，则tan α≠1 B ．

[名校联盟]2012届高三数学二轮复习专题01 充要条件的探求与判定

充要条件的探求与证明第一课时：充要条件的探求：第一课时：充要条件的探求：[课前引导]第一课时：充要条件的探求：[课前引导]1.若a，b，c∈R，则b2－4ac<0是ax2+bx+c>0恒成立的()A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第一课时：充要条件的探求：[课前引导]1.若a，b，c∈R，则b2－4ac<0是ax2+bx+c>0恒成立的(D)A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函数f(x)=x|x+a|＋b是奇函数的充要条件是()A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.函数f(x)=x|x+a|＋b是奇函数的充要条件是()A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=0[解]法一：f(x)为奇函数 对任意实数x都有f( x)= f(x)成立.即 x| x+a|+b= (x|x+a|+b)成立,即 x|x a|+b= x|x+a| b成立.比较等式两边函数式结构可得： a a22,即a b 0,即a b 0. b b比较等式两边函数式结构可得：

1 【金榜题名】2014届高考数学一轮复习 考点突击 专题 1.

2 命题及

其关系、充要条件（精测）

【课后反馈】

夯实基础：

1、【2012-2013莆田市高中毕业班质量检查】已知:0,0,:0p x y q xy >>>，则p 是q 的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】A ；

【解析】00,00,0xy x y x y >?>><<或.

2、【2012-2013华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中“六校联考（3）】设p ：0202>--x x ，q ：2log (5)2x -<，则p 是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3、【2012-2013山东省临沂市郯城一中高三月考】已知向量(1,2),(,2),a b x ==则2a b +与2a b -（ ）

A 垂直的必要条件是2-=x

B 垂直的充要条件是2

7=x C 平行的充要条件是1=x D 平行的充分条件是2-=x 【答案】C ；

【解析】因为2a b +(12,6)x =+，2a b -(2,2)x =-，若2a b +与2a b -平行，则2(12)6(2

1.2 命题及充要条件

一、填空题

1．命题：“若x2＜2，则|x|＜2”的逆否命题是________________． 解析 “若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”． 答案 若|x|≥2，则x2≥2

2.若集合A={1,sin},B={},则””是”{}”的_______条件． 解析 {},但{}不能推出. 答案 充分不必要

3． “|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的________条件． 解析 设A＝{x||x－1|＜2}＝{x|－1＜x＜3}，

B＝{x|x(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}，因为BA，所以应填必要不充分条件． 答案 必要不充分

4．设x，y∈R那么“x＞y＞0”是“＞1”的________条件． 解析 由＞1?

xyxyx－y＞0?x＞y＞0或x＜y＜0. yxy因此“x＞y＞0”能推断“＞1”，反之不成立． 答案 充分不必要 5.设

a,b

是向量,命题”若

a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是

____________________.

解析 ∵逆命题是以原命题的结论为条件,条件为结论的命题, ∴这个命题的逆命题为:若|a|=|b|,则a=-b. 答案 若|a|=|b|,则a=-b

?1?a

1.2.2 充要条件

[学习目标] 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.

知识点一 充要条件

一般地，如果既有p?q，又有q?p 就记作_p?q.

此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.

概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件.

思考 (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？ (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

答案 (1)正确.若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q，故此说法正确. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论. ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. 知识点二 常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：

原命题 真 逆命题 真 p与q的关系 p是q的充要条件 q是p的充要条件 p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件 p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件 真

矩阵的知识

维普资讯

第 l 9卷第 2期

邯郸职业技术学院学报

2O 06年 6月

矩阵方程的求解问题郑丽0 60 ) 50 1 (邯郸职业技术学院基础部，河北邯郸

摘

要：主要考察了矩阵方程的求解问题，出了一般矩阵方程当系数矩阵满足不同条件时的两种给

求解方法。

关键词：阵；阵的逆；阵方程矩矩矩中图分类号： 2 16 0 4 .文献标识码： A文章编号：0 9 4 2 2 o ) 2 0 9 3 10—5 6 (0 6 0—0 8—0—。..。.. ... ...L。. ..。.

矩阵是线性代数中的最重要的部分。贯穿于线性代数的始终，以说线性代数就是矩阵的代数，它可 矩阵是处理高等数学很多问题的有力工具。阵方程是矩阵运算的一部分，矩这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题。握简单的矩阵方程的求法，于求解复杂的矩阵方程有很大帮助。掌对 简单的矩阵方程有三种基本形式：= C,A= C,X= C。 X AB如果这里的 A、是可逆方阵，都则求解时需要找出矩阵的逆，注意左乘和右乘的区别。它们的解分别为：: A-C,= 1 ~,: A 1 -~。 例如，方程 A= C,求解 C先考察 A是否可逆。如果 A可逆时，程两边同时左乘 A得 A A=方~, A—

矩阵方程AXB?C的定秩解及其最佳逼近问题

第1章 绪论

对于矩阵方程AXBT?C,刘瑞娟[2]利用矩阵对的商奇异值分解,得到了解非空的充要条件和解的最大(小)秩.1955年Penrose[5]得到了AXB?C有解的充要条件和通解的表达式;1970年Lnacaster[6]利用Kornecker乘积和拉直映射也得到了它的一般解的条件和显式解;1976年，S.K.Mitra[7]研究了它的Hermitian解及非负定解的条件,并给出了两种解的表达式;1990年,戴华[8]研究了此方程在对称矩阵集合中的求解问题，利用矩阵对的广义奇异值分解得到了问题有对称解的条件和解的表达式；邓远北、彭向阳、雷渊[9?12]等系统地研究了此方程在对称化矩阵、（反）对称矩阵、半正定矩阵、正交（反）对称矩阵、（反）自反矩阵集合中的等式约束解以及最小二乘解；2003年,廖安平[13]利用广义奇异值分解研究了它在对称半正定矩阵集合中的最小二乘解;2004年,彭亚新[14]用迭代法系统地研究了矩阵方程AXB?C的一般解 对称解 (反)中心对称解 (反)自反解 双对称解与对称次反对称解等问题.

对于矩阵方程的定秩解问题及其最佳逼近,1972年，S．K．Mi