高考数学平面向量真题

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2012年高考数学全国各地高考真题专题分类汇编——平面向量

F1 平面向量的概念及其线性运算

4．H1、F1[2012·上海卷] 若d＝(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．

1

4．arctan [解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求

2

出直线的斜率．

11

由已知可得直线的斜率k＝，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan. 2220．H5、F1、H1[2012·陕西卷] 已知椭圆C1：＋y＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，

4

且与C1有相同的离心率．

(1)求椭圆C2的方程；

→→

(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程．

x2

2

y2x2

20．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为2＋＝1(a＞2)，

a4

3a2－43

其离心率为，故＝，则a＝4，

2a2

y2x2

故椭圆C2的方程为＋＝1.

164

(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， →→

由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上， 因此可设直线AB的方程为y＝kx.

第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例

考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1．平面向量的数量积

若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__； (2)非零向量a，b，a⊥b?__a·b＝0__；

(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝_

一、选择题

1. (2014北京文 3已知向量 (2,4=

a , (1,1=-b ,则 2-=a b ( . A. (5,7 B. (5,9 C. (3,7 D. (3,9

2. (2014大纲文 6已知 , a b 为单位向量,其夹角为 60,则 (2 -?=a b b ( . A . 1- B . 0 C . 1 D . 2

3. (2014福建文 10设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 OA OB OC OD +++等于( .

A. OM B. 2OM C. 3OM D. 4OM 4. (2014广东文 3已知向量 ((1,2, 3,1= =a b ,则 -=b a ( . A. (2,1- B. (2, 1- C. (2,0 D. (4,3 5. (2014新课标Ⅱ文 4设向量 , a b 满足 +=a b -=a b ?=a b (

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 6. (2014山东文 7

已知向量 ((, 3, m ==a b . 若向量 , a b 的夹角为 π6,则实数 m =( .

A. B. C. 0 D.

7. (2014新课标Ⅰ文

一、选择题

1. (2014北京文 3已知向量 (2,4=

a , (1,1=-b ,则 2-=a b ( . A. (5,7 B. (5,9 C. (3,7 D. (3,9

2. (2014大纲文 6已知 , a b 为单位向量,其夹角为 60,则 (2 -?=a b b ( . A . 1- B . 0 C . 1 D . 2

3. (2014福建文 10设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 OA OB OC OD +++等于( .

A. OM B. 2OM C. 3OM D. 4OM 4. (2014广东文 3已知向量 ((1,2, 3,1= =a b ,则 -=b a ( . A. (2,1- B. (2, 1- C. (2,0 D. (4,3 5. (2014新课标Ⅱ文 4设向量 , a b 满足 +=a b -=a b ?=a b (

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 6. (2014山东文 7

已知向量 ((, 3, m ==a b . 若向量 , a b 的夹角为 π6,则实数 m =( .

A. B. C. 0 D.

7. (2014新课标Ⅰ文

1 平面向量的数量积

【考点梳理】

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)几何意义：数量积a 2b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．

2．平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a 2b ＝b 2a ；

(2)数乘结合律：(λa )2b ＝λ(a 2b )＝a 2(λb )；

(3)分配律：a 2(b ＋c )＝a 2b ＋a 2c .

3．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.

考点一、平面向量数量积的运算

【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →2BC →的值为( )

A ．－58

B ．18

C ．14

D ．118

(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →2AP →的最大值为

________.

[答案] (1)B (2) 6

2 [解析] (

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数

,等于已知

；③若存在实数

三点共线.

（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出钝角, 给出

,等于已知,等于已知

,即是锐角。

是直角,给出,等于已知是

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三

角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在形三条高的交点）；

中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角

形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数

,等于已知

；③若存在实数

三点共线.

（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出钝角, 给出

,等于已知,等于已知

,即是锐角。

是直角,给出,等于已知是

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三

角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在形三条高的交点）；

中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角

形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量或；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数

,等于已知

；③若存在实数

三点共线.

（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出钝角, 给出

,等于已知,等于已知

,即是锐角。

是直角,给出,等于已知是

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三

角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在形三条高的交点）；

中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角

形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

学科思想 分类讨论思想 例 已知a＝（1，2），b＝（–3，2），当k为何值时，ka＋b与a–3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【思路分析】由a，b的坐标→求ka＋b，a–3b坐标→由向量共线的条件列方程组→求k的值→判断方向 【解析】由ka＋b＝（k–3，2k＋2）， a–3b＝（10，–4）． ∵ka＋b与a–3b平行， 1∴（k–3）×（–4）–10（2k＋2）＝0，解得k＝–3． 11此时ka＋b＝–3a＋b＝–3（a–3b）． 1∴当k＝–3时，ka＋b与a–3b平行，并且反向． 【方法技巧】解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解． 数形结合思想 例 已知，且与的夹角为与，则与5．已知向量=（2，0），向量=（cosα，=（2，2），向量训练题组 1．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为___________，|a–b|的最大值为___________． 2．在△ABC中，=（2，3），=（1，k），且△ABC的一个内角为直角，则k的值___________． 3．已知a＝（–2，–1），b＝（λ，1），若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为_

数 学

F单元 平面向量

F1 平面向量的概念及其线性运算

10．F1[2014·福建卷] 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，→＋OB→＋OC→＋OD→O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA等于( )

→ B．2OM→ A.OM

→ D．4OM→ C．3OM

10．D [解析] 如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线→＝－MC→，MB→＝－MD→. 的交点，所以M是AC与BD的中点，即MA

→＋OC→＝(OM→＋MA→)＋(OM→＋MC→)＝2OM→. 在△OAC中，OA

→＋OD→＝(OM→＋MB→)＋(OM→＋MD→)＝2OM→， 在△OBD中，OB

→＋OC→＋OB→＋OD→＝4OM→，故选D. 所以OA

12．F1[2014·江西卷] 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α1

＝3.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．

12．3 [解析] 因为|a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－

1

12×1×1×3＋4×1＝9，所以