图论及其应用东南大学答案

图和子图 图

图 G = (V, E)， 其中 V = {v1,v2,......,v?} V ---顶点集，

E = {e1,e2,......,e?}

?---顶点数

E ---边集， ?---边数

例。 左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。不过今后对两者将经常不加以区别。

称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。

称顶点a与e 相邻。称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p与af 。

环（loop，selfloop）：如边 l。 棱（link）：如边ae。 重边：如边p及边q。 简单图：（simple graph）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。 一条边的端点：它的两个顶点。 记号：?(G)?V(G),?(G)?E(G).。

习题

1.1.1 若G为简单图，则

a

图和子图 图

图 G = (V, E)， 其中 V = {v1,v2,......,v?} V ---顶点集，

E = {e1,e2,......,e?}

?---顶点数

E ---边集， ?---边数

例。 左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。不过今后对两者将经常不加以区别。

称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。

称顶点a与e 相邻。称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p与af 。

环（loop，selfloop）：如边 l。 棱（link）：如边ae。 重边：如边p及边q。 简单图：（simple graph）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。 一条边的端点：它的两个顶点。 记号：?(G)?V(G),?(G)?E(G).。

习题

1.1.1 若G为简单图，则

a

图和子图 图

图 G = (V, E)， 其中 V = {v1,v2,......,v?} V ---顶点集，

E = {e1,e2,......,e?}

?---顶点数

E ---边集， ?---边数

例。 左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。不过今后对两者将经常不加以区别。

称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。

称顶点a与e 相邻。称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p与af 。

环（loop，selfloop）：如边 l。 棱（link）：如边ae。 重边：如边p及边q。 简单图：（simple graph）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。 一条边的端点：它的两个顶点。 记号：?(G)?V(G),?(G)?E(G).。

习题

1.1.1 若G为简单图，则

a

图和子图 图

图 G = (V, E)， 其中 V = {v1,v2,......,v?} V ---顶点集，

E = {e1,e2,......,e?}

?---顶点数

E ---边集， ?---边数

例。 左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。不过今后对两者将经常不加以区别。

称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。

称顶点a与e 相邻。称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p与af 。

环（loop，selfloop）：如边 l。 棱（link）：如边ae。 重边：如边p及边q。 简单图：（simple graph）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。 一条边的端点：它的两个顶点。 记号：?(G)?V(G),?(G)?E(G).。

习题

1.1.1 若G为简单图，则

a

图论及其应用

论文

姓名：学号：专业：xxx xxx xxx

图论在高校互联校内网建设的应用

摘要

图论和我们的生活其实是息息相关的，我们在生活中处处可见图论的实际应用。特别的，图论对我们通信专业以后的工作也有着极大的帮助。在以后的工作中也会时时用到图论的相关知识。

本论文的主旨是利用相关的图论知识来解决重庆几所高校建立互联校内网的问题。主要是为了能使各重庆高校的学生能够免费共享高校的学习资源。从而促进各高校学生的共同发展。

本文中，解决重庆几所高校建立互联校内网主要应用的是求图的最小生成树的方法。而求图的最小生成树有两种算法，一种是Prim（普里姆）算法，另一种是Kruskal（克鲁斯卡尔）算法。

本文通过将高校转换成连通图，再将连通图转换成邻接矩阵。在C++上，通过输入结点和权值，用普里姆算法获得权值最小边来得到最小生成树，从而在保证各个地点之间能连通的情况下节省所需费用。

关键字：最小生成树、PRIM算法、邻接矩阵、高校互联校内网建设

1. 连通图

（1）概述

在图论中，连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中，若从顶点vi到顶点vj有路径相连(当然从vj到vi也一定有路径)，则称vi和vj是连通的。如果 G 是有向图，那么连接vi和

在通信领域中，传输信息的方法有两种，其一是等长码制方法，其二是非等长码制方式；字符出现的频率不同,在传输中采用非等长二进制编码传输会提高传输效率,在字符的出现频率已知前提下,采用最优二叉正则树算法,可以得到最佳前缀码。

关键字正则二叉树 前缀码 最优二叉树 哈夫曼编码 频率 java程序

引言

在通信中,通常采用二进制编码表示符号,如果每个要传输的符号使用频率相同,则采用等长码表示即可,但事实上不同符号在传输过程中出现的频率并不相同,有些符号出现频率相差很大,此时采用非等长编码可节省二进制数位,可达到提高效率的目的。

相关基础知识

下面介绍有关二叉树以及哈夫曼编码的相关知识：

定义1：一个有向图，若不考虑他的方向，他是一棵树，则称这个有向图为有向树。一颗有向树，如果恰有一个结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1，则称为根树，其中入度为0的结点称为树根，出度为0的结点称为树叶，出度不为0的结点称为分支点或内点。

在根树中，称从树根到结点v的距离称为该点的层次。 定义2：在根树中，若从vi到

(vi,vj)vj可达，则称vi是

vjvj的祖先，

vj是vi的后代，又若

是树根中的有向边，则称vi是v的父亲，j是vi的儿子；如果两个结点是

同一结

习题一

1. （题14）：证明图1-28中的两图是同构的 图1-28

证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图

u1 v1

u6 u5 v6 v10 v5 v2 u2 u8 v7 u10 u3 v8 v9 u4 u u 79 v4 v3 (b) (a)

作映射f : f(vi)?ui (1? i ? 10)

容易证明，对?vivj?E((a)),有f(vivj)?uiuj?E((b)) (1? i ? 10, 1?j? 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。

?n?2. （题6）设G是具有m条边的n阶简单图。证明：m =??2??当且仅当G是

??完全图。

证明 必要性 若G为非完全图，则? v?V(G),有d(v)? n-1 ? ? d(v) ? n(n-1) ? 2m?n(n-1)

?n?? m ? n(n-1)/2=??2??, 与已知矛盾！

???n? 充分性 若G为完全图，则 2m=? d(v) =n(n-1) ? m= ??2??。

??3. （题9）证明：若k正则偶图具有二分类V= V1∪V2，则 | V1| = |V2|。

证

电子科技大学研究生试题

《图论及其应用》(参考答案)

考试时间：120分钟

一．填空题(每题3分，共18分)

1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；

2．设无向图G中有12条边，已知G中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。则G中顶点数至少有__9___个；

3．设n阶无向图是由k(k?2)棵树构成的森林，则图G的边数m= _n-k____;

4．下图G是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.

5．下图G的点色数?(G)?______, 边色数??(G)?__5____。

图G

图G

二．单项选择(每题3分，共21分)

1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A ) (A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333). 2．已知图G如图所示，则它的同构图是（ D ）

d121234bc434312a图(G)ABC

3． 下列图中，是欧拉图的是（ D）

ABCD

4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）

A B C D 5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）

A B C D

徐康宁

徐康宁，男，经济学博士，东南大学特聘教授、经济管理学院院长、教授、博士生导师。1956年出生，江苏句容人，享受国务院专家特殊津贴，江苏省政府“333人才工程”重点培养对象。历任东南大学经济贸易系主任、经济管理学院副院长、院长。兼任中国世界经济学会常务理事、江苏省经济学会副会长、江苏省投资学会副会长、南京市专家咨询委员会委员，兼马鞍山市人民政府经济顾问、宿迁市人民政府经济顾问，同时担任多家大型企业和股份公司的顾问或独立董事。

长期从事国际贸易、产业分工及区域经济方面的研究，主持并完成\企业集团跨国经营研究\、\台资企业管理模式研究\等多项国家自然科学基金和国家社会科学基金项目，以及一批省、市政府和大型企业委托的研究项目，其中主持完成的国家自然科学基金项目\大型企业跨国经营研究\被国家自然科学基金委员会管理科学部评估为优秀项目。主持的软科学招标项目的研究成果\中心城市经济发展环境与竞争力比较研究\，2001年10月在国务院主办的《经济日报》发表后，在全国产生了较大的影响，其中许多研究成果为政府部门所采纳。出版了《文明与繁荣》、《跨国公司与中国企业跨国经营》、《现代企业竞争战略》、《产业聚集形成的源泉》等学术著作，在《中国社会科学》

东南大学2010-2012年江苏省各专业录取分数线

2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 专业名称 土建类（建筑学类） 机械类 能源动力类（能源与环境） 信息工程 信息工程(无锡分校) 土建类（土木） 工程力学 电子科学与技术（类） 电子科学与技术(无锡分校) 数学类 自动化 计算机科学与技术 软件工程 物理学类 生物医学工程（类） 生物医学工程（七年制） 材料科学与工程 人文科学试验班 经济学类 2011年 2012年 最高分最低分最高分最低分最高分最低分最高分最低分最高分最低分最高分最低分（理） （理） （文） （文） （理） （理） （文） （文） （理） （理） （文） （文） 429 400 402 410 401 410 396 403 398 400 403 400 400 398 402 401 400 404 407 395 396 403 395 401 396 398 395 395 396 396 395 395 397 397 395 395 396 380