清华自主招生试题数学

2006年清华大学自主招生数学试题

1．求最小正整数n，使得I (

2

1123

n

i)为纯虚数，并求出I．

2．已知a、b为非负数，M a4 b4,a b 1，求M的最值．

sin 、cos 为等差数列，sin 、sin 、cos 为等比数列，求3．已知sin 、

cos2

12cos2

的值．

4．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．

5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．y x上一点P(非原点)，在P 处引切线交x、y轴于Q、R，求

2

PQPR

．

7．已知f(x)满足：对实数a、b有f(a b) af(b) bf(a)，且f(x) 1，求证f(x)恒为零．

(可用以下结论：若limg(x) 0,f(x) M，M为一常数，那么

x

lim(f(x) g(x)) 0)

x

8．在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明．

2006年清华大学自主招生数学试题解答

1解答：

，

362

而纯虚数的幅角为k ，因此

2I的幅角 为arctg

n=3, I (

2

1)

3

9

2解答：

a b (a b) 2ab ((a b) 2ab) 2ab令t ab

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(1)

近年北大清华自主招生试题汇编

———————————————————————————————— 2010北大自主招生（三校联招） 1．（仅文科做）0????2，求证：sin????tan?．（25分）

5?122．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为．（25分）

3．AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，0≤t≤1．PQ在t0时取得最小值，问当0?t0?5．（仅理科做）存不存在0?x?

2009北大自主招生数学试题

15?2时，夹角的取值范围．（25分）

，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分）

1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求圆半径。

2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。求证：2009为数列中一项。 3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？

4 已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值

5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下

清华大学2009年自主招生试题

摘要：文中“记忆能否擦拭掉历史的尘垢，恢复其本来面目？”显然有两种回答：能或不能。请选择一种，并举例论证……

中英文综合（200分） 1.语文部分（95分） 甲文：白居易的粉丝（9分） 1、请解释什么是“白居易现象”。

2、“文章已满行人耳，一度思卿一怆然。”一句中的“文章”指的是什么？ 3、陈至呼为“白舍人行诗图”的根据是什么？

4、作者写到“打开整部中国文学史上，与大众如此呼吸相通，生息相关，声气相连，心神相交的文人，还真是很少见有与他相匹敌者。”作者似乎另有感慨，作者感慨的是什么哪

乙文：4年前与奥巴马的邂逅（11分）（略）

1、请具体说明文中“如同奥巴马所期待的那样”指的是什么？ 2、下文为奥巴马当选总统后的演讲，请说明文中“我”的作用和下文中安·尼克松·库伯的作用分别是什么？ 丙文：历史与记忆（13分）（略）

1、文中“记忆能否擦拭掉历史的尘垢，恢复其本来面目？”显然有两种回答：能或不能。请选择一种，并举例论证。

2、“在押往集中营的火车上，她设法递出了令人揪心的一封明信片。她说，她不知道她的孩子在哭泣，在挨饿？他要死了吗？她希望有人去照料一下她的孩

北京大学2015自主招生化学试题

1填充题

（1）在NaCl的溶液里有Mg2+（NaOH），SO42-（BaCl2），Ca2+（Na2CO3）等杂质离子，括号中是除杂的试剂，加入试剂的顺序为

（2）电解熔融LiCl，得到Li和Cl2。将1mol?L-1LiCl的溶液加热蒸干，得到固体，电解熔融固体，阳极出的并不是Cl2，为什么？ （3）Ag为什么能置换出HI（aq）和H2S（aq）中的氢？ （4）给一个物质的结构简式，写出合成尼龙-6的方程式 （5）给单体结构简式，写出三聚的结构简式（三聚氰胺）。写出由尿素合成三聚氰胺的方程式 （6）给出NaCl的溶解热，Na变成离子的能量变化及Cl变成离子的能量变化， 问根据数据能得出什么？

（7）已知NH4A（A为酸根）受热分解是质子转移，若A为氧化性酸根，分解时还有氧化还原反应。试写出NH4NO2，NH4Cr2O7，NH4MnO4分解的方程式

2 简答题

（1）将足量的Zn加入1mol?L-1的HCl和HAc溶液中。试解释释氢气的速率不同，释氢气的量不同

（2）向Na2S，Na2CO3溶液中通入SO2以制备Na2S2O3?5H2O， 1.通入一段时间后，生成沉淀，

2.继续通入SO2，沉淀逐

2012清华北、大系自主招生笔试试题

2012清华系7校、北大系11校的自主招生笔试试题 清华系七校联盟考试，考生须考3科，分别是阅读与写作、数学、自然与科学（理科）或人文与社会（文科）；北大系自主招生笔试仍按传统科目语文、数学、英语、化学等7科进行。

记者从诸多参加考试的考生中了解到，今年两大联盟的考题虽然题型有些变化，但各类考题与时事热点结合仍然紧密，如乔布斯对苹果的影响、碳排放等有关问题都进入了自招的考题。

清华联盟试卷

清华联盟包括清华、上海交大、人大、中国科技大学、西安交大、南京大学和浙大7所学校。

阅读与写作

·古诗词阅读《蝶恋花》（晏殊）

槛菊愁烟兰泣露，罗幕轻寒，燕子双飞去。明月不谙离恨苦，斜光到晓穿朱户。

昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。欲寄彩笺兼尺素，山长水远知何处？

问：这是王国维在《人间词话》中关于人生三重境界的描述之一，另外两重是什么？

2012清华北、大系自主招生笔试试题

·作文：给出一段材料，要求写一篇不少于800字的论述文（材料大意如下）：

富兰克林下楼梯时看到前边一位女同事滑倒，他打消了与自己同行的同事打算上前帮忙的念头，并解释称，有谁希望别人看到自己的尴尬相呢？我们躲起来是让那位女士确信，没人看到她难

推 荐 信

尊敬的清华大学领导： 你好！

我是长沙市雅礼中学高三年级理科实验班（K339班）的班主任伍佑生。作为一名高三年级的班主任老师，我认为我有责任把最优秀的学生推荐给最优秀的大学。我很高兴向你们推荐我最优秀的学生——皮熙东，衷心希望我的这封推荐信能帮助你们更好地了解皮熙东同学。

据我详细了解，皮熙东同学是2004年上学期于长沙市雨花亭小学毕业，作为该校第一名并凭借突出的奥数成绩进入我们长沙市雅礼中学读初中。初中三年在德、智、体等各方面都表现特别优秀，学习成绩尤为突出，每次期中期末考试都在全年级一千多名学生中名列前十名以内，2007年上学期初中毕业时以综合评分全年级排名第一直升进入雅礼中学高中学习，并被评为长沙市新概念三好学生。

皮熙东直升进入雅礼中学高中后，以优秀的成绩考入了省理科实验班（K339班），本人担任该班班主任兼物理老师，对他有了零距离的认识。皮熙东同学有很好的学习习惯，在独立思考，自主学习和自觉学习等方面表现突出。在高中阶段的每次月考和期中期末考试中，成绩排名保持在年级前十名以内，成绩十分稳定；参加信息学、数学、生物学等各科竞赛成绩优秀，多次获一、二、三等奖。

本人认为经雅礼中学近六年的培养，皮熙东具有了意志坚强，成熟

XX大学自主招生考试面试试题集锦

2006年清华面试题

2009.12.15 王洪亮

1、第一轮面试，三个教授面试一个学生，刚进考场，老师要求用电报的形式在三十秒钟内介绍一下自己。

2、一个人在平地上步行的速度为每小时4公里，上山的速度为每小时6公里，下山的速度是每小时3公里，请问，他步行5小时走了多少公里？如果把步行速度改为x，上山速度改为y，下山速度改为z，该如何计算？

3、高压氮气瓶打开后，瓶口的温度是上升还是下降？为什么？ 4、空调工作原理是什么？

5、集体面试时，你作为奥组委的工作人员，如何在中学生中推广奥运产品？最后选出一个人进行总结。

6、你否喜欢做物理实验？测电阻时，实验的误差从哪里来的？如果电源是交流电，该怎么测电阻？

7、你在中学学习最得意、感受最深的一件事？

理科：

1、你最崇拜的一个科学家？为什么？ 2、班级里你最崇拜的一个同学？为什么？

1

3、你最喜欢的一个数学公式？为什么？

4、父亲和母亲哪一个对你的影响比较大？为什么？

5、公理和定理有什么不同？

6、“神六”发射的过程中，哪些现象能用物理原理解释？

7、火箭喷射过

XX大学自主招生考试面试试题集锦

2006年清华面试题

2009.12.15 王洪亮

1、第一轮面试，三个教授面试一个学生，刚进考场，老师要求用电报的形式在三十秒钟内介绍一下自己。

2、一个人在平地上步行的速度为每小时4公里，上山的速度为每小时6公里，下山的速度是每小时3公里，请问，他步行5小时走了多少公里？如果把步行速度改为x，上山速度改为y，下山速度改为z，该如何计算？

3、高压氮气瓶打开后，瓶口的温度是上升还是下降？为什么？ 4、空调工作原理是什么？

5、集体面试时，你作为奥组委的工作人员，如何在中学生中推广奥运产品？最后选出一个人进行总结。

6、你否喜欢做物理实验？测电阻时，实验的误差从哪里来的？如果电源是交流电，该怎么测电阻？

7、你在中学学习最得意、感受最深的一件事？

理科：

1、你最崇拜的一个科学家？为什么？ 2、班级里你最崇拜的一个同学？为什么？

1

3、你最喜欢的一个数学公式？为什么？

4、父亲和母亲哪一个对你的影响比较大？为什么？

5、公理和定理有什么不同？

6、“神六”发射的过程中，哪些现象能用物理原理解释？

7、火箭喷射过

2018届清华大学自主招生数学试题

2018年11月28日

1．求最小正整数n，使得I?(?12123i)n为纯虚数，并求出I．

2．已知a、b为非负数，M?a4?b4,a?b?1，求M的最值． 3．已知

sin?、cos?sin?、sin?、cos?为等差数列，sin?、为等比数列，求

1cos2?的值． 24．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积． cos2??5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．

y?x2上一点P(非原点)，在P 处引切线交x、y轴于Q、R，求

PQPR．

7．已知f(x)满足：对实数a、b有f(a?b)?af(b)?bf(a)，且f(x)?1，求证f(x)恒为零．

(可用以下结论：若limg(x)?0,f(x)?M，M为一常数，那么lim(f(x)?g(x))?0)

x??x??8．在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明．

清华大学2015年自主招生简章

为贯彻落实《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》、《教育部关于进一步完善和规范高校自主招生试点工作的意见》的精神，我校将围绕“综合评价、多元择优、因材施招、促进公平”的人才选拔理念，开展2015年自主招生工作。

一、 机构与原则

我校自主招生工作在清华大学招生工作领导小组的领导下，由清华大学招生办公室负责具体工作的组织和实施。

自主招生认定及录取工作按照综合评价、公平公正、宁缺毋滥的原则择优确定认定、录取名单，学校纪检监察部门全程监督，并接受社会监督。

二、招收对象及申请条件

具有各类特长及创新潜质的优秀高中毕业生均可申请。申请学生应至少具备以下特质之一，并提供相关证明材料：

1.（类型1：学科竞赛类）具有各学科竞赛突出特长的学生；

2.（类型2：研究创作类）在科技发明、研究实践、文学创作、创意创新等方面具有突出表现的学生； 3.（类型3：突出才能类）在语言、逻辑、智力、记忆、国学等方面具有特殊天赋或才能的学生。

三、招生专业类与招生计划

2015年我校自主招生录取人数不超过教育部核准的自主招生计划；各招生专业类自主招生入选资格人数及对应的初试测试科目如下：

入选资格人数 建筑学(含城乡规划) 土建类 约 10 人