江苏省高等数学竞赛

2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）

一.填空（每题4分，共32分） 1.limx?0x?sin?sinx??sinx?3? 2.设函数f,?可导，y?f?arctanx???tanx??，则y?? 3. y?cos2x，则y?n??

1?xdx? x2ex??1dx? 5. ?21?x44.?2x?2y?z?2?0?6.圆?2的面积为 22?x?y?z?4x?2y?2z?19?x?7.设f?2x?y,?,f可微，f1??3,2??2,f2??3,2??3，则dzy???x,y???2,1??

1???1??n?1?!8.级数?的和为 n2n!n?1?n二．（10分）设f?x?在?0,c?上二阶可导，证明：存在???0,c?， 使得?c0cc3f?x?dx??f?0??f?c???f?????

212E为D1C1的中点，F为侧三．（10分）已知正方体A

. . .. . .

.. .专业 . . 2010年省《高等数学》竞赛试题（本科二级）

一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x

→-=

2.2ln(1x y x

=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=?

5.4211dx x

+∞

=-? 6.圆222222042219

x y z x y z x y z +-+=???++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz ==

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛

本科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分）

1.函数

y?sinxsinxx?（其中

?2）的反函数为________________________。

n2.当x?0时，3x?4sinx?sinxcosxx与x为同阶无穷小，则n?____________。 3.在x?1时有极大值6，在x?3时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

dn(1?xm)np(x)?m,n是正整数，则p(1)?________________。 dxn4.设，

?2[x?cos(x)]sinxdx???2?25._______________________________。

26. 若函数x?x(t)由

t??e?tdt?01x所确定的隐函数，则

d2xdt2?t?0 。

xyyy?y????()lnxxx有特解7.已知微分方程，则?(x)?________________________。 ?x?2z?y?1绕z轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

8.直线???????

一．选择题(每小题4分,共24分) 1.当 x?0时, 1?cos2x与ln(1?ax2)是等价无穷小，则常数a的值为( )

A. 1 B. 2 C.3 D. 4

解：本题考查无穷小阶的比较，就是求两个函数比值的极限，条件说是等价无穷小，那么比值的极限是1，即有

1(2x)21?cos2x2 2lim?lim??1x?0ln(1?ax2)x?0ax2a则a?2，选B。

x2?x 2.曲线y?的垂直渐近线是( )

x(x?1)(x?2)A.

x?0 B. x?1 C. x?2 D. 没有垂直渐近线

0lim解：所谓垂直渐近线就是若x?xf(x)??（也可以是单侧极限，即左极限或右极限为无穷大），则称x?x0为垂直渐近

?0，x?1，x?2，但是在求极限时

线。一般拿来讨论极限的x0为函数中无定义的点，本题有三个无定义的点，即x函数经过化简后变成3. 设?(x)?y?11??，所以选C。 ，因此只有limx?2x?2x?2?sinx0tln(1?t)dt，则??(x)?( )

A. sinxcosxln(1?sinx) B. sinxln(1?sinx) C. ?sinxcosxln

北航数学竞赛答案（2008）

一. 求 dx sinx x )12n (sin I 0

n ?π-= 解 dx sinx x )12n (sin I 0

1n ?

π++= dx sinx sinx cos2nx cosx sin2nx 0?

π+= =dx cosx sinx sin2nx 0?π-dx sinx sinx cos2nx 0

?π dx sinx x )12n (sin 0

?π

-= =n I

所以，n I =π=1I

二. 设)x (f 在[0，1] 上连续，且 ?=1

01f(x)dx ， 证明?π≥

+10

24f(x)dx )x (1. 证明 210f(x)dx 1??? ??=?21022dx x 11x 1f(x)???

? ??+?+=? ()?????? ??+?+≤10221

022dx x 11dx x 1)x (f 4

dx )x 1)(x (f 1

022π?

+=? 所以

?π≥+1

024f(x)dx )x (1

三. 已知 )x (f n 满足x 1n n 'n e x )x (f )x (f -+= (n 为正整数) 且n e )1(f n =, 求级数 ∑∞=1n n )x (f

之和.

解：x 1n

2014年10月竞赛辅导练习题（一）

一、极限与连续部分

21．求极限limxln(xsin)． （ ?x???1x1 ） 61 ） 62．求极限lim(x?x?x???332x2?x)． （ ?mnn?m??)m、n?N（且）． （ ） m?nnx?1xm?12x?111?n1e2)?(1?)n]． （ ） 4．求极限limn[(1?n??1?nn23．求极限lim(ex?e2x???enxx5．求极限lim()． （ ex?0n31n?12 ）

1?6．已知极限limx?0f(x)?1sinx2ln(x?1?x)2?b(b?0)，求常数a、n，使得当x?0时，

f(x)~axn． （ a?3b、n?3 ）

x?ax37．选择适当的a，为尽可能高阶的无穷小，b使得当x?0时，f(x)?arctanx?1?bx2并求阶数的最大值． (

常州大学2012-2013年度数学竞赛获奖名单

本部

机类（高等数学A） 一等奖(共34人）

谢敬涛(信管101）刘浩浩(机械教改121） 陈圆圆(机制101) 夏阳春(热能122) 宗文浩(储运113) 周 伟(储运103) 唐归源(石工122) 徐丽娜(信管101) 邓 吕(装备102) 周军勇(储运103) 陈春龙(建环101) 王明敏(土木121) 戚中一(计算机121) 魏婷婷(电科121) 华松杰(华院121) 郑国峰(装备102) 黄佳佳(电科121) 李 洋(给水121) 朱绪跃(华院122) 陈龙海(装备122) 朱晓云(信科教改122) 卞 雷(机械教改121) 苏 聪(电科121) 万 根(华院121) 樊姜威(土木122) 陈雪慧(电科121) 荆 斌(电科122) 郁秋华(华院122）孙 涛(机制103) 陈继雨(土木121) 殷啸林(土木122) 夏威威(机制122) 刘 锐(装备101) 郑张笑(电科111) 二等奖（共50人）

蒋 斌（储运121）郭雪萍（石工101） 江晓

AnnalsofMathematics,157(2003),919–938

LargeRiemannianmanifolds

whichare exible

ByA.N.Dranishnikov,StevenC.Ferry,andShmuelWeinberger*

Abstract

Foreachk∈Z,weconstructauniformlycontractiblemetriconEuclideanspacewhichisnotmodkhypereuclidean.WealsoconstructapairofuniformlycontractibleRiemannianmetricsonRn,n≥11,sothattheresultingmani-foldsZandZ areboundedhomotopyequivalentbyahomotopyequivalencewhichisnotboundedlyclosetoahomeomorphism.Weshowthatfortheself(Z)→K (C (Z))fromlocally -spacestheC -algebraassemblymapK

niteK-homologytotheK-th

编号：

《高等数学（一）》课 程 自 学 辅 导 材 料 配套教材： 《高等数学（一）微积分》 主 编： 章学诚 出 版 社： 武汉大学出版社 版 次： 2004年版 适应层次： 本 科 内 部 使 用 2012年9月 ●●●●●

目 录 第一部分 自学指导 第1章：函数及其图形…………………………………………………………………3 第2章：极限和连续……………………………………………………………………3 第3章：一元函数的导数和微分………………………………………………………3 第4章：微分中值定理和导数的应用…………………………………………………3 第5章：一元函数积分学………………………………………………………………3 第6章：多元函数微积分………………………………………………………………3 第二部分 复习思考题 一．单选题 ……………………………………………………………………………4 二．填空题 ……………………………………………………………………………24 三．计算题 ………………………

江苏省2013年普通高校“专转本”选拔考试

高等数学 试题卷（二年级）

注意事项：

1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2、必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效。作答前未必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填在试题卷和答题卡上的指定位置。

3、考试结束时，须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。在下列每小题中，选出一个正确

答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）

1、当x?0时，函数f(x)?ln(1?x)?x是函数g(x)?x的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小

22x2?x2、曲线y?2的渐近线共有( )

x?3x?2A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

?sin2x　　x?0??x3、已知函数f(x)??，则点x?0是函数f(x)的

x?　x?0　??1?x?1A、跳跃间断点

B、可去间断点

C、无穷间断点

D、连续点

d2y14、设y?f()，其中f具有二阶导数，则2?

dxx1121???f()?