递推关系求数列极限

摘要

极限论是数学分析的基础，它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的，在形式上数列极限是函数极限的特例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。

关键词：极限、数列、函数

Abstract

Limit is mathematical analysis, the method of it from the higher mathematics elementary mathematics and different. The study is the ultimate in the process of change in trend of variables. The mathematical analysis discussed the limit can be broadly divided into two kinds: one kind is the limit, is a function of the limit. T

辅导二： 数列的辅导一

知识点归纳：

?单调递增函数?1、数列的分类：?单点递减函数

?摇摆数列?2、观察法法求数列通项公式（找项与对应序数之间的关系）

①等差数列若?an?为等差数列，则an=a1+（n－1）d ②若?an?为等比数列，则an=a1q④摇摆数列 3、递推数列

①若?an?为等差数列，则它的递推公式法 ②若?an?为等比数列，则它的递推公式法 4、等差数列的通项求法 典例讲练：

n－1

③有分子分母的分别考虑

观察法求数列通项的求法：

例1：写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是如下各数：

13579，，，，，?357911（1）

12341，3，5，7，……

916254 1239 1?,2?,3?,??,9?2341011132，4,,??,111111 1?(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)2232342?24?46?68?8,,,1?33?55?77?9

111,,,??,（2）1?21?2?31?2?3?4

1,1111,,,,??,33?53?5?73?5?7?9 1?21?2?31?2?3?41?2?3???50,,,?，,??,22?32?3?42?3???50

（3）

递推式求数列通项公式常见类型及解法

甘肃武威第六中学 李立德

对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化

成等差数列或等比数列，也可以通过构造把问题转化。下面分类说明。 一、

型

例1. 在数列{an}中，已知，求通项公式。

解：已知递推式化为，即，

所以。

将以上个式子相加，得

，

所以二、

型

。

例2. 求数列的通项公式。

解：当，

即

当三、例3. 在数列解法1：设于是，得比数列。 所以有

。 型 中，

，所以。

，求

，对比

。

，得

。

，以3为公比的等

解法2：又已知递推式，得上述两式相减，得

为首项，以3为公比的等比数列。 所以四、

型

，因此，数列

是以

，所以。

例4. 设数列解：设

，则

，

，求通项公式。

，

所以，

即。

设这时，所以。

由于{bn}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。

由此得：。

说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。 五、

型

例5. 已知b≠0，b≠±1，

写出用n和b表示an的通项公式。

，

解：将已知递推式两边乘以设

，得，又

，仿类型三，可解得

。

，于是，原递推式化为，故

说明：对于递推式入辅助数列六、

型

，可两边除以，得，引

，然后

递推数列的极限是大学数学分析教材和硕士研究生入学考试中经常出现的问题.给出了一类递推数列极限的10种证明方法.

维普资讯

20 0 7年 1 2月

郧阳师范高等专科学校学报J u n lo n a g Te c e s C l g o r a fYu y n a h r o l e e

De . 20 c 07 Vo127 N o . .6

第2 7卷第 6期

一

类递推数列极限的多种证法邓乐斌，贾卫红数学系，湖北丹江口 42 0) 4 7 0

(阳师范高等专科学校郧[摘

要]推数列的极限是大学数学分析教材和硕士研究生入学考试中经常出现的问题 .出了一类递递给

推数列极限的 1证明方法. O种

[关键词]推数列；西准则；缩数列；调有界定理递柯压单[围分类号] 7中 O1 1[献标识码1文 A[文章编号] 0 8 6 7 (0 7 O一 O 2一 O 10 - 0 2 2 0 )6 O 3 3

在数学分析教材或硕士研究生入学考试中，递推数求列的极限是重点、点，难同样也是热点 .果说求极限问题如

由此类推： X 1 X与一

一 X 1同号

而 x -x= 2 1

一X=幽 -CI - -X1

是数学分析教材或硕士研究生入学考试中专家、授们精教心呵护的美丽花园的话

递推数列的极限是大学数学分析教材和硕士研究生入学考试中经常出现的问题.给出了一类递推数列极限的10种证明方法.

维普资讯

20 0 7年 1 2月

郧阳师范高等专科学校学报J u n lo n a g Te c e s C l g o r a fYu y n a h r o l e e

De . 20 c 07 Vo127 N o . .6

第2 7卷第 6期

一

类递推数列极限的多种证法邓乐斌，贾卫红数学系，湖北丹江口 42 0) 4 7 0

(阳师范高等专科学校郧[摘

要]推数列的极限是大学数学分析教材和硕士研究生入学考试中经常出现的问题 .出了一类递递给

推数列极限的 1证明方法. O种

[关键词]推数列；西准则；缩数列；调有界定理递柯压单[围分类号] 7中 O1 1[献标识码1文 A[文章编号] 0 8 6 7 (0 7 O一 O 2一 O 10 - 0 2 2 0 )6 O 3 3

在数学分析教材或硕士研究生入学考试中，递推数求列的极限是重点、点，难同样也是热点 .果说求极限问题如

由此类推： X 1 X与一

一 X 1同号

而 x -x= 2 1

一X=幽 -CI - -X1

是数学分析教材或硕士研究生入学考试中专家、授们精教心呵护的美丽花园的话

递推式求数列通项公式常见类型及解法

递推数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列给 予解决，由于递推数列的多变性，这里介绍总结一些常见类型及解法。 一、公式法（涉及前n项的和） 已知sn?f(n)

?S1?????(n?1) ?an???Sn?Sn?1???(n?2)注意：已知数列的前n项和，求通项公式时常常会出现忘记讨论n?1的情形而致错。

例1.已知数列{an}前n项和Sn?2n2?3n?1，求数列{an}的通项公式。 解：当n=1时，a1?s1?4，

当n?2时，an?sn?sn?1?(2n2?3n?1)?[2(n?1)2?3(n?1)?1]?4n?1，

?4?1?1?5?a1

?an?4,(n?1) ???4n?1,(n?2)练习：已知数列{an}前n项和Sn?2n?1，求数列{an}的通项公式。答案：an二、作商法（涉及前n项的积）

已知a1?a2?a3......?an?f(n)

?an?f(1).????(n?1)? ??f(n)???(n?2)??f(n?1)?3,(n?1) ??n?12,(n?2)?例2.已知数列{an}中a1?1,n?2时a2?a3??????an?n2,试求

第３０卷

２０１０正第６期１１月高师理科学刊ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｏｆＴｅａｃｈｅｒｓ’ＣｏｌｌｅｇｅａｎｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶ０１．３０Ｎｏ．６ＮＯＶ．２０１０

文章编号：１００７—９８３１（２０１０）０６—００３５—０４

函数上、下极限与数列上、下极限关系的探讨

张金

（宿迁高等师范学校数学系，江苏宿迁２２３８００）

摘要：将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨

与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题．

关键词：函数；数列；上极限；下极限

中图分类号：０１７１文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１０．０６．０１３

１引言及预备知识

数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题．

引理１【Ｊ脚有界数列矗。｝至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点．

定义１ｕ粥３有界数列｛％｝的最大聚点万与最小聚点堡分别称为数列扛。）的上极限与下极限，分别记作为万＝ｌｉｍｘ。，一ａ＝一ｌｉｍＸ。．＾—＋∞ｎ－－＇－￡ｏ

引理２ｕ脚任

特征方程法求解递推关系中的数列通项

一、（一阶线性递推式）设已知数列{an}的项满足a1 b,an 1 can d,其中c 0,c 1,求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程x cx d,称之为特征方程；借n 1

决定（即把a1,a2,x1,x2和n 1,2，代入an Ax1n 1 Bx2，得到关于A、B的方程组）；当x1 x2时，数列

an 的通项为an

an (A Bn)x1

n 1

(A Bn)x1

n 1

，其中A，B由a1 ,a2 决定（即把a1,a2,x1,x2和n 1,2，代入

，得到关于A、B的方程组）。

例3：已知数列 an 满足a1 a,a2 b,3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N)，求数列 an 的通项公式。 助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当x0 a1时，an为常数列，即

an a1;当x0 a1时,an bn x0，其中{bn}是以c为公比的等比数列，即bn b1c

n 1

,b1 a1 x0.

证明

数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题，题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列｛an｝中，a1=2，q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n，则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+alimn，则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

三

第1页，共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题，题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列｛an｝中，a1=2，q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n，则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+alimn，则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

三

第1页，共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4