高数第12章无穷级数
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高数第12章
第十二章 无穷级数
§ 1 常数项级数的概念和性质
?3n1、 设级数?n,则其和为( )
n?053515 A B C D
53222、 若liman?0,则级数?an( )
n???
n?1
A 收敛且和为0 B 收敛但和不一定为0
C 发散 D 可能收敛也可能发散 3 、若级数?un收敛于S,则级数?(un?un?1)( )
n?1n?1?? A 收敛于2S B收敛于2S+u1 C收敛于2S-u1 D发散
?114、若limbn???,bn?0,求 ?(?)的值
n??bbn?1nn?1解: Sn?((1111111111?)?(?)?(?)?......(?)??
高数第六章 无穷级数
第六章 无穷级数
无穷级数是数学分析的一个重要工具,也是高等数学的重要组成部分.本章首先讨论常数项级数,然后研究函数项级数,最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题.我们将只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式.
第一节 常数项级数的概念和性质
常数项级数的概念
在中学课程中,我们就已经遇到过“无穷项之和”的运算,比如等比级数
2na+ar+ar+?+ar+?
另外,无限小数其实也是“无穷项的和”,比如
2?1.4142??1?4142????? 10102103104对于有限项之和,我们在初等数学里已经详尽地研究了;对于“无穷项之和”,这是一个未知的新概念,不能简单地引用有限项相加的概念,而必须建立一套严格的理论.
定义1 给定一个数列?un?,将它的各项依次用“?”号连接起来的表达式
u1?u2?u3???un?? (6?1?1)
称做(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记为
??un?1n?u1?u2?u3???un??,
?其中,u1,u2,?,un,?都称为级数(6?1?1)的项,un称为级数(6?1?1)的一般项或通项.级数?un是
n?1“无限多个数
上海大学高数第八章无穷级数
第八章 无穷级数
一、基本要求:
1.理介常数项级数收敛与发散的概念,收敛级数和的概念,掌握级数的基本性质和收敛的必要条件; 2.掌握几何级数,P—级数的敛散性;
3.掌握正项级数的比较判别性,比值判别法,会用根值判别法,了解积分判别法; 4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法;
5.了解函数项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,以及二者之间的关系; 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;
7.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间以及收敛域的求法;
8.了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和; 9.了解泰勒公式、泰勒级数;掌握e,sinx,?0,??,ln?1?x?及?1?x?的麦克劳林展开式,并能利用这些展开式将一些
x?简单的函数展成幂级数;
10.了解幂级数在近似计算中的简单应用;
11.了解傅立叶级数的概念以及函数展开成傅立叶级数的狄利克莱定理;
12.会将定义在???,??,???,??及?0,??,?0,??上的函数展开为傅立叶级数,会写出傅立叶级数的和的表达式。
二、主要内容: 1.
内容提要:
1.数项级数的定义:
(1)设有数列?un?,n?1,2,3,?,则u1?
高数无穷小量的比较
大学文科高数
无穷小量的比较引 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量, 两个无穷小量的和、差与乘积仍是无穷小量, 但是两个无穷小量的商,会出现什么情况? 但是两个无穷小量的商,会出现什么情况? 一、无穷小量的比较 二、等价无穷小量代换
大学文科高数
一、无穷小量的比较 观察下列极限 当 x →0时, 3x, x2, sinx都是无穷小, 3x sinx都是无穷小,x2 lim = 0, x→0 3 xsin x = 1, lim x→0 x
3x lim 2 = ∞, x →0 x
上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 上述极限中, 分子、分母都是无穷小, 但不同比的 极限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢” 极限各不相同, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢” 程度.下面给出无穷小量比较的几个概念 程度.下面给出无穷小量比较的几个概念. 给出无穷小量比较的几个概念.
大学文科高数
定义1 定义1 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小, 是自变量同一变化过程中的无穷小,
β (1)若 lim = 0 , 则称 β 是比 α 高阶的无穷小, 记作 高阶的无穷小, α β = o(α ) β 低阶的无穷小 (2)若 lim = ∞ , 则称
高数第9章答案
高等数学(化地生类专业)(下册)
姜作廉主编
《习题解答》
习题
9
1指出下列平面与坐标系的位置关系,并作图:(1)x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0.2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A且垂直于线段AB.??????解:设所求平面?的法向量为n,n?AB?{6,?6,3},由点法式方程,有:6(x?2)?6(y?1)?3(z?2)?0,故平面方程为:2x?2y?z?8?0.3求过点(2,3,0),(?2,?3,4),(0,6,0)的平面方程。解:设所求平面方程为Ax?By?Cz?D?0,将已知三点带入,?2A?3B?D?0DDD??2A?3B?c?D?0,解得:A??,B??,C??.显然,?464?6B?D?0?由题意D?0,故所求方程为:3x+2y+6z-12=04求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。解:设平面在三个坐标轴上的截距为t,则平面方程由截距式可得:xyz???1,将点(1,-1,2)代入,1-1+2=t?t=2.ttt故平面方程:x+y+z-2=0.5(1)通过x轴和M(2,-1,1)解
华理高数答案第8章
第8章(之1)
第36次作业
教学内容:§8.1.1数列 8.1.2收敛数列
1.选择题:
***(1)若liman?a,则???0,在a的?邻域之外,数列{an}中的点 ( )
n??(A)必不存在;
(B)至多只有有限多个; (C)必定有无穷多个;
(D)可以有有限个,也可以有无穷多个.
解答:(B).
il*(2)设an?(?1)n?1,数列{an}的前n项值之和记为Sn,则m(A) 0; (B)1; (C)1/2; (D)1/3.
解答:(C).
1(S1?S2???Sn)?( ) n??n提示:S1?1,S2?0,?,S2k?1?1,S2k?0,?,S1?S2?S3???S2k?k, S1?S2?S3???S2k?1?k?1.
2.填空题:
12n*(1)lim(2?2???2)? .
n??nnn解答: 1/2 .
*(2)lim(n?3?n)n?1? .
n??解答: 3/2 .
an2?bn?5?2,则a ,b . *(3)设limn??3n?2解答:a?0,b?6.
3.计算下列极限:
*(1)lim(2?42?82??22);
n??n
113
第八章无穷级数- 副本
第八章 无穷级数
本章知识结构导图
定义法判别级数的收敛性常数项级数正项级数及收敛性判别法交错级数、绝对收敛、条件收敛幂级数的概念,收敛半径,收敛区域的求法无穷级数幂级数幂级数的性质级数在近似计算中的举例函数的幂级数展开无穷级数在经济学中的应用:银行复利问题 §8.2 常数项级数
一、常数项级数的概念
在初等数学中知道: 有限个实数u1,u2,?,un相加, 其结果是一个实数. 本章将在这个基础上继续推广, 讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其有关特性.
一、定义:
第1页, 共31页
【定义 1】 设有一个无穷数列 u1,u2,?,un,?, 则称
u1?u2???un?? (1)
为常数项级数或无穷级数(也常简称级数), 其中un称为常数项级数(1)的通项. 常数项级数(1)也常写作
?un?1?n或简单写作
?un.
作常数项级数(1)的前n项之和
Sn?u1?u2???un??uk
k?1nSn称为级数(1)的第n个部分
第十章 无穷级数5
第五节
函数展开成幂级数
Taylor级数★
函数展成幂级数的方法
小结
思考题
作业
第十章 无穷级数
函数展开成幂级数
如果 f ( x)在( x0 R, x0 R)内能展开成幂级数,则f ( x ) a n ( x x0 ) nn 0
1.在什么条件下才能展开成幂级数? 2.如果能展开,系数 an 如何计算? 3.展开式是否唯一?2
函数展开成幂级数
一、Taylor级数回顾 Taylor公式:若函数f (x)在x0的某邻域内有 n+1阶导数, 则 f (x)可表为:
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) (1) ( x x0 )n Rn ( x ) n! f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n 1 , 介于x与x0之间. 其中( n 1)!
公式(1)是函数f(x)在x0处展开的Taylor公式, Rn(x)是Lagrange余项. 3
函数展开成幂级数
如函数f (x)在x0的某邻域内是 无穷次连续可微的, 自然会想到: f (x)是否可展为如下的幂
2012刑法总论第12章 罪数形态
第十二章 罪数形态
一罪与数罪概说 一、罪数的概念和意义 罪数是行为人危害社会的行为构成犯罪的单复或个数。 构成一罪的,是一罪;构成数罪的,是数罪。一般情况下 区分一罪与数罪并不难,但对于一些特殊的情况到底是一 罪还是数罪,认定起来则比较困难,确定这些行为是一罪 还是数罪,具有十分重要的意义。
二、一罪与数罪的划分标准
中外理论界有不同的观点,如行为标准说、法益标准说、 犯意标准说、构成要件标准说、综合说等不同的学说,我 国刑法理论界的通说是犯罪构成标准说,认为在区分一罪 与数罪时应当以犯罪构成为标准。凡是行为符合一个犯罪 构成的,是一罪,符合数个犯罪构成的,是数罪。
三、罪数的类型 一罪的类型 单纯一罪 实质的一罪:继续犯、想象竞合犯、结果加重犯 法定的一罪:结合犯、惯犯 处断的一罪:连续犯、牵连犯、吸收犯 数罪的类型 异种数罪与同种数罪
实质的一罪
包括单一罪、继续犯、想象竞合犯、结果加重犯。其中 单一罪指明显地只构成一罪的情况,所以不再研究。 (一)继续犯 1. 概念 继续犯,又称持续犯,指一个已经实现犯罪既遂的行为, 在既遂后的相当时间里持续侵犯同一或相同客体的犯罪。 刑法中的非法拘禁罪、绑架罪、非法持有私藏枪支弹药罪、 窝藏罪
最新微积分第七章无穷级数
微积分第七章无穷级
数
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第七章无穷级数
一、本章的教学目标及基本要求:
(1)理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本
性质和收敛的必要条件。
(2)掌握几何级数与p—级数的收敛性。
(3)会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法,掌握正项级数的比值审敛法。
(4)会用交错级数的莱布尼茨定理。
(5)了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系。
(6)了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
(7)掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
(8)了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和。
(9)了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
(10)掌握函数«Skip Record If...»的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
(11)了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理,会将定义在«Skip Record If...»上的函数展开成傅氏级数,会将定义在«Skip
Record If...»上的函数展开成正弦级数与余弦级数,会写出傅氏级