数列的最值问题不等式法

用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式

a2?b2①a?b?2ab?ab?当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、b?R)，222?a?b??②a?b?2ab?ab??当且仅当a = b时，“=”号成立； ?(a、b?R)，2??2a3?b3?c3(a、b、c?R?)，③a?b?c?3abc?abc?当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

3333?a?b?c??④a?b?c?3abc?abc???(a、b、c?R) ,当且仅当a = b = c时,“=”号成

3??33立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

a?b② 熟悉一个重要的不等式链：?ab??112?ab二、函数f(x)?ax?2a2?b2。 2b(a、b?0)图象及性质 xy?b2aba(1)函数f(x)?ax?bx?a、b?0?图象如图： ?a、b?0?性质：

o?2abxbab(2)函数f(x)?ax?x①值域：(??,?2ab]?[2ab,??)；

②单调递增区

用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式

a2?b2①a?b?2ab?ab?当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、b?R)，222?a?b??②a?b?2ab?ab??当且仅当a = b时，“=”号成立； ?(a、b?R)，2??2a3?b3?c3(a、b、c?R?)，③a?b?c?3abc?abc?当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

3333?a?b?c??④a?b?c?3abc?abc???(a、b、c?R) ,当且仅当a = b = c时,“=”号成

3??33立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

a?b② 熟悉一个重要的不等式链：?ab??112?ab二、函数f(x)?ax?2a2?b2。 2b(a、b?0)图象及性质 xy?b2aba(1)函数f(x)?ax?bx?a、b?0?图象如图： ?a、b?0?性质：

o?2abxbab(2)函数f(x)?ax?x①值域：(??,?2ab]?[2ab,??)；

②单调递增区

利用基本不等式求最值

一、学习目标：

1、理解利用基本不等式求最值的原理

2、掌握利用基本不等式求最值的条件

3、会用基本不等式解决简单的最值问题

二、学习重点与难点：

重点：运用基本不等式求最值

难点：利用基本不等式求最值满足的条件

三、学习方法：自主探究式 四、学习过程：

1、探究一：极值定理

问题1：

a b(a,b R )，已知x y 2(x 0,y 0)，你能求出x y 2

a b(a,b R )，已知x y 2(x 0,y 0)，你能求出x y 2的最小值吗？何时取小值？ 问题2：

的最大值吗？何时取大值？

问题3：已知x 0,y 0

（1）若x y是定值p，求(x y)min，等号何时成立？

（2）若x y是定值s，求(x y)max，等号何时成立？

问题4：你能由问题1—3得出一般结论吗？已知x,y R

则：（1）若积x y p（定值），则和x

y有最小值当日仅当x y时，取“=”号

（2）若和x y s（定值），则积x y有最大值

当日仅当x y时，取“=”号

即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”。

自主练习1：①若x 0时，求y x s2 41的最小值. x

1②若x 1，求y x 的最小值. x 1

③若0 x 1，求y x (1 x)的最大值.

2、

数列型不等式的放缩技巧九法

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：

一 利用重要不等式放缩

1． 均值不等式法

2例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证n(n?1)?Sn?(n?1).

22解析 此数列的通项为ak?k(k?1),k?1,2,?,n.

n1k?k?11，n?k?k(k?1)??k???k?Sn??(k?)，

222k?1k?12即n(n?1)?Sn?n(n?1)?n?(n?1).

2222 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab?a?b，

2若放成k(k?1)?k?1则得Sn??(k?1)?(n?1)(n?3)?(n?1)，就放过“度”了！

22k?1②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

2 a1???ana12???annn11???a1an?

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

例谈应用均值不等式求最值的解法

作者：黄玉凤

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第10期

最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各个知识板块.学生在学到“均值不等式的应用”时，常感觉到“均值不等式a+b2≥ab（a>0，b>0，当且仅当a=b时等号成立）”这一知识极易理解，但在解题过程中却往往不知道如何运用.在教学中，我整理了均值不等式求最值的解法，以解除学生的学习困惑. 一、负化正

在运用均值不等式的时候首先要注意a>0，b>0的条件（即一正）.如下题型，当正数条件不满足时，可以将负数化为正数，产生满足要求的条件. 【例1】求f（x）=4x+9x（x

解：∵x0∴f（x）=-4（-x）+（-9-x）=-[（-4x）+（-9x）] ∵（-4x）+（-9x）≥12，∴f（x）≤-12

当且仅当4（-x）=-9x，即x=-32时，f（x）等号成立，取最大值为-12. 二、构造法 1.配系数 【例2】当0

《高中数学笔记本》 必修五分册 第三章 不等式 合作才能共赢

1 3.4.1基本不等式

授课类型：新授课

一、新课学习（温故知新）

1、重要不等式：若R b a ∈,，则ab b a 22

2≥+ ,（当且仅当b a =时取“=”） 变形：若R b a ∈,，则2

22b a ab +≤,（当且仅当b a =时取“=”） 2．基本不等式：若,a b R +∈，则ab b a ≥+2

.（当且仅当b a =时取“=”）. 变形如下： ( 1 ) 若,a b R +∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）--------- 积定和最小

( 2 ) 若,a b R +

∈，则22??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）----------和定积最大 注：利用基本不等式求最值的条件“一正，二定，三相等”.

3、推广：-------均值不等式

2

112a b a b +≤≤≤+，(当且仅当b a =时取“=”）.

注：利用均值不等式求最值的条件“一正，二定，三相等”.

二、专题演练【基本不等式求最值或取值范围】

1.求b= 4a －2

＋a

课题： 数列中的最值问题

执 教：宋荷娟

班 级：高三（1）班 教学目标：

1.理解函数单调性与数列单调性的关系，掌握用单调性求数列最值的方法． 2.在解决问题的过程中，体会运用函数性质研究数列性质、求数列最值的方法要领．

3.在交流的过程中，分享多角度解决问题的成功经验，提高综合分析、解决问题的能力，提升数学素养．

教学重点：利用研究函数最值的方法解决数列中的最值问题． 教学难点：利用单调性解决数列中的最值问题．

教学过程：

一． 实例引入

数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用．

问题1：在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？

【设计说明】让学生在实际情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在思维碰撞中深刻体会其蕴含的数学思想和方法．

思路分析：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月

数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式

数列、函数与不等式

及其试题设计

三、不等式证明 方法总结：

不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法等八种方法．要明确这虹各种方法证明不等式的步骤及应用范围．若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题．

A B 0 A B；作商比较：A B 作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和． ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小． 2、综合法：由因导果．

3、分析法：执果索因．基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．

4、反证法：正难则反．

放缩法的方法有：

①

an； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③

利用基本不等式，如：log3 lg5 (④

lg3 l

上海鸿文职业高级中学教案

解集的错误.

不等式 的教学 目标.

【练习】解下列不等式：1 (1) x 5 ; 2

让同学在下面自己做一 下

(2) x 7 解：画出数轴

1 1 (1) x 5 x 5 2 2 (2) x x 7或x 7 【设问】如果在 x 2 中的 x 换成 x 5 ,也就是

在将x 5

看成一 个整体 的关键

x 5 2 怎样解？【点拨】 可以把 x 5 看成一个整体， 也就是把 x 5 看成 x ,按照 x 2 的解法来解.

处点 拨、启 发，使

x 5 2 2 x 5 2 3 x 7

学生主 动地进 行练 习.

所以，原不等式的解集是

x

3 x 7

【设问】如果 x 2 中的 x 是 3 x +1 ,也就是

继续强 化将3 x +1

3x+1 2 怎样解？【点拨】 可以把 3 x +1 看成一个整体， 也就是把 3 x +1 看成 x ,按照 3x+1 2 的解法来解.

看成一 个整体 继续强

3x+1 23 x +1 2 ,或 3x +1 2 ,

化解不 等式

3x+1 2时不要 犯3x +1 2

由 3 x +1

不等式综合应用

一、知识梳理

1、 不等式的性质、均值定理、绝对值不等式定理 2、 不等式的解法、证法

3、 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系与区别 4、 线形规划，导数的应用。

1、）若实数a、b满足ab<0，则（ ）

A．|a－b|<|a|－|b| B．|a－b|<|a|+|b| C．|a+b|>|a－b| D．|a+b|<|a－b|

2

2、 设ｆ(x)= x+ax+b，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a，b)在aOb平面上的区域的面积是 （ ）

A．

19 B．1 C．2 D． 227

3、 已知xy＜0且x+y=2，而(x+y)按x的降幂排列的展开式中，第三项不大于第四项，那

么x的取值范围是 （ ）

A．(??,0)?(0,) B．[,??)

5454C．(??,0) D．(??,]

544、 函数y?f(x?1)的图像如下图所示，它在R上单调递减.现有如下结论：①f(0)?1；

?1