差分方程和微分方程的区别
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微分方程与差分方程_详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程
常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分,是描述客观规律的一种重要方法,是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具,微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容,每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题,既是重点,也是难点,在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念;变量可分离的方程;齐次方程;一阶线性方程;伯努利(Bernoulli)方程;全微分方程;可用简单的变量代换求解的某些微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常系数齐次线性微分方程;高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;欧拉(Euler)方程;微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念;变量可分离的方程;齐次方程;一阶线性微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常数齐次线性微分方程;高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念,如阶、解、通解、特解、定解条件等,掌握几类方程的解法:如变量可
动态经济学的微分方程和差分方程案例
市场需求函数由下式给出:
qtD=A+Bpt
其中,qtD为t时刻的需求量,pt是t时刻的市场主导价格
我们假定供给决策是在产品上市的前一期做出的。因此,t时期市场的共给量是在t-1时期以供应商预期的未来市场价格为基础决定的。令Et?1(pt)表示预期价格,那么时期t的供应量由下式给出:
qtS=F+GEt?1(pt)
为了使模型更加的完整,我们需要指定预期价格的形成方式。在基本的蛛网模型中,我们假定
Et?1(pt)=pt?1
这意味着,供应商预期下一期的市场价格等于当前的市场价格。
假定在每一期价格都会调整到市场出清水平,那么每一期的供给和需求都相等。这意味着
A+Bpt= F+GEt?1(pt) 重新整理,可以求得pt:
pt=
GF?Apt?1? (18.8) BB该式说明,价格的时间路径服从一个一阶线性自治差分方程(以t和t-1,而不是t和t+1的项表示)。稳态价格p可以通过令pt=pt?1=p求得。
按照上述做法,我们求得
p=
A?F G?B注意,稳态价格也是使供给和需求相等时的价格。
比较等式(18.8)和等式(18.1),我们知道
微分方程与差分方程_详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程
常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分,是描述客观规律的一种重要方法,是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具,微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容,每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题,既是重点,也是难点,在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念;变量可分离的方程;齐次方程;一阶线性方程;伯努利(Bernoulli)方程;全微分方程;可用简单的变量代换求解的某些微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常系数齐次线性微分方程;高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;欧拉(Euler)方程;微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念;变量可分离的方程;齐次方程;一阶线性微分方程;可降阶的高阶微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;二阶常数齐次线性微分方程;高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;简单的二阶常系数非齐次线性微分方程;微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念,如阶、解、通解、特解、定解条件等,掌握几类方程的解法:如变量可
第九章 微分方程与差分方程
的高等数学练习题 第九章 微分方程与差分方程
系 专业 班 姓名 学号 第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程(一)
一.选择题
1.微分方程xyy???x(y?)3?y4y??0的阶是 ( A ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.微分方程
y??2y?0的通解是 ( C )
(A)y?Csin2x (B)y?4e2x (C)y?Ce2x (D)Y?Cex
3.微分方程y\?11?y(y?)2?0的通解是 ( C (A)Cx (C)CCx1ex?C2 (B)e?C2e1?1 (D)Cx1e?C2x
4.下列微分方程中,属于可分离变量的微分方程是
微分方程讲义
课程安排:2学期,周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容:定积分的计算 要求:听课 、复习 、 作业 本次课题(或教材章节题目):第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求: 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点:微分方程的基本概念,微分方程阶的概念 难 点: 微分方程的概念; 微分方程阶的概念 教学手段及教具:讲授为主 讲授内容及时间分配: 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以
12微分方程
第十二章 微分方程
一、内容提要
(一)主要定义
【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程; 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.
【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.
一般形式为: Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为:y?n??(n)??0.
??fx,y,y?,?,y?n?1?.
?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,
或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.
根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解);不含有任意常数的解叫特解.
【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.
例
【例1
非线性方程和常微分方程的解法
非线性方程和常微分方程的解法
实验8 非线性方程和常微分方程的解法
一、实验目的
学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。
二、实验内容与要求
1. 非线性方程的整值解
(1)最小二乘法
格式:fsolve(’fun’,x0)%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。
[例1.72] 求方程x e 0的解。
>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);
>>xl=fsolve(fc,0)
xl=
0.5671
问题1.28:求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解,如何求之?
先用命令fplot(’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10])作图1.13,注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ,0]”是作y=0直线,即x轴。方程在[0,10]区间从图中可看出有4个解,分别在0,3,6,9附近,所以用命令:
>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);
>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)
得出结果:
ans=
0.5918 3.1407 6.2832 9.4248
【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co
非线性方程和常微分方程的解法
非线性方程和常微分方程的解法
实验8 非线性方程和常微分方程的解法
一、实验目的
学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。
二、实验内容与要求
1. 非线性方程的整值解
(1)最小二乘法
格式:fsolve(’fun’,x0)%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。
[例1.72] 求方程x e 0的解。
>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);
>>xl=fsolve(fc,0)
xl=
0.5671
问题1.28:求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解,如何求之?
先用命令fplot(’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10])作图1.13,注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ,0]”是作y=0直线,即x轴。方程在[0,10]区间从图中可看出有4个解,分别在0,3,6,9附近,所以用命令:
>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);
>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)
得出结果:
ans=
0.5918 3.1407 6.2832 9.4248
【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co
微分方程作业
P10习题
1.用Euler法和改进的Euler法求u’=-5u (0≤t≤1),u(0)=1的数值解,步长h=0.1,0.05;并比较两个算法的精度。
解:function du=Euler_fun1(t,u) du=-5*u;clear;
h=0.1;tend=1;N=1/h;t(1)=0;u(1)=1; t=h.*(0:N); for n=1:N
u(n+1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); end
plot(t,u,'*');hold on for n=1:N
v(1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); for k=1:6
v(k+1)=u(n)+h/2*(Euler_fun1(t(n),u(n))+Euler_fun1(t(n+1),v(k))); end
u(n+1)=v(k+1); end
plot(t,u,'o');
sol=dsolve('Du=-5*u','u(0)=1'); u_real=eval(sol); plot(t,u_real,'r');
将上述 h 换为0.05得:
由图像知道:
显然改进的Euler法要比Euler法
裘布依微分方程
1.答:对于底坡i=0、 i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流向变小。而根据渗流连续性原理,可知q=常量。
那么,由裘布依微分方程
q??Kh?H ?x
可知??H沿流向将变大,即水头线越来越弯曲,其形状H为一上凸的曲线。?x
由此,可知习题6-1图所示的水头线形状不正确,图中红色曲线为正确的水头线形状。
(a) (b)
习题6-1图
2.答:
(a)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流向变小。而根据渗流连续性原理,可知q=常量。 那么,由裘布依微分方程
q??Kh?H ?x
可知?
?H沿流向将变大,即水头线越来越弯曲, 其形状为一上凸的曲线。?x
(a) (b)
习题6-2图
(b)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流向不变。根据渗流连续性原理,可知q=常量。 那么,由裘布依微分方程
q??Kh?H ?x可知??H沿流向将不变,水头线H为一斜直线。?x
(c)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流