曲线的轨迹方程怎么求

高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法

张昕

陕西省潼关县潼关高级中学 714399

求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1） 直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直

接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质.

（2） 定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、

双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方程要善于抓住曲线的定义特征.

（3） 代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹

方程.这就叫代入法.

（4） 参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的

变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程.

（5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列

2010届高考数学复习 强化双基系列课件

《圆锥曲线 -轨迹方程》

基本知识概要：一、求轨迹的一般方法： 1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的 等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简， 证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意 “挖”与“补”。 2.定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如 圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参 数),使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立

篇一：高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段AB?6，直线AM,BM相交于M，且它们的斜率之积是

4

，求点M 的轨迹方程。 9

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(?3,0),B(3,0)，设点M的坐标为(x,y)，则直线AM的斜率kAM?

yy(x??3)，直线BM的斜率kAM?(x?3) 由已知有x?3x?3

yy4

??(x??3) x?3x?39

x2y2

化简，整理得点M的轨迹方程为??1(x??3)

94

练习：1．平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x?4的距离之比为2，

篇一：高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段AB?6，直线AM,BM相交于M，且它们的斜率之积是

4

，求点M 的轨迹方程。 9

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(?3,0),B(3,0)，设点M的坐标为(x,y)，则直线AM的斜率kAM?

yy(x??3)，直线BM的斜率kAM?(x?3) 由已知有x?3x?3

yy4

??(x??3) x?3x?39

x2y2

化简，整理得点M的轨迹方程为??1(x??3)

94

练习：1．平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x?4的距离之比为2，

2.1.2求曲线的方程 (求动点的轨迹方程)

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程 的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这 就是我们反复提到的坐标法。

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程 的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这 就是我们反复提到的坐标法。

点M

按某中规律运动几何意义

曲线C

坐标(x, y )

x, y的制约条件

“数形结合” 数学思想的 基础

代数意义

方程f ( x, y) 0

数学中，用坐标法研究几何图形的知识形 成的学科叫做解析几何。解析几何主要研究的 问题是： (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质。

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：

1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：

必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为

1，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课2本P144B组2：已知点M(x,y)与两个定点M1,M2的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1，与m?1进行讨论）

2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆

BMA(x?1)2?y2?1上运动，求AB的中点M的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。 （1）求圆心的P的轨迹方程；

（2）若P点到直线y?x的距离为

2，求圆P的方程。 2

如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：

1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：

必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为

1，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课2本P144B组2：已知点M(x,y)与两个定点M1,M2的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1，与m?1进行讨论）

2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆

BMA(x?1)2?y2?1上运动，求AB的中点M的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。 （1）求圆心的P的轨迹方程；

（2）若P点到直线y?x的距离为

2，求圆P的方程。 2

如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR

(§11.5 文)（§12.5 理） 曲线与方程及轨迹问题

知识要点梳理

本节主要内容是曲线与方程的概念及轨迹方程的求法.

一．“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念

在直角坐标系中，如果某曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 二．求曲线（轨迹）方程

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力。

它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与

关于求圆锥曲线方程的方法 重难点归纳

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小

C' 典型题例示范讲解 18 m C 例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部

20 m 分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A' 14 m A A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端

点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出22 m B B' 该双曲线方程

命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力

知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积

错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法

中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

难点23 求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

●难点磁场

x2y2?1.(★★★★★)双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|4b2成等比数列，则b2=_________.

2.(★★★★)如图，设圆P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.

●案例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(1)建立坐标系并写出该双