空间中的垂直关系思维导图

空间中的垂直关系复习学案

课标要求：通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 基础知识回顾：

1、 证明线线垂直：如果一条直线l和一个平面α垂直，那么l和平面α内的任意一条直线都垂直。（线面垂直?线线垂直）

2、线面垂直：方法一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线线垂直?线面垂直）

方法二：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直+线线垂直?线面垂直）

3．面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直?面面垂直）

4、垂直?平行：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 典例解析

题型1：线线垂直问题

例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD

空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系 一. 教学内容： 空间中的垂直关系 二、学习目标

1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；

2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；

3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。 三、知识要点

1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有： ①判定定理： .

② b⊥α, a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理） ③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）

④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a a⊥α（面面垂直性质定

理）

3、直线与平面垂直的性质定理：

①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a⊥α，b⊥α⇒a∥b）

②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）

4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向

好

空间中的平行关系

一、证明题

例1：如图，O 是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1底面对角线AC 与BD 的交点，求证：B 1O//平面A 1C 1D 。

例:2：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 、E 、F 分别是棱11B A 、11D A 、11C B 、11D C 的中点。

求证：平面//AMN 平面EFDB 。

例3：（2006四川理19 ）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===，求证：//MN 面11ADD A 。

练习：1、如图，在四棱锥P – ABCD 中，M,N 分别是侧棱PA 和底面BC 边的中点，O 是底面平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点．

求证：过O 、M 、N 三点的平面与侧面PCD 平行.

好

2、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，

求证：MN ∥平面BCE

10.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是A

好

空间中的平行关系

一、证明题

例1：如图，O 是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1底面对角线AC 与BD 的交点，求证：B 1O//平面A 1C 1D 。

例:2：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 、E 、F 分别是棱11B A 、11D A 、11C B 、11D C 的中点。

求证：平面//AMN 平面EFDB 。

例3：（2006四川理19 ）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===，求证：//MN 面11ADD A 。

练习：1、如图，在四棱锥P – ABCD 中，M,N 分别是侧棱PA 和底面BC 边的中点，O 是底面平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点．

求证：过O 、M 、N 三点的平面与侧面PCD 平行.

好

2、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，

求证：MN ∥平面BCE

10.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是A

张喜林制

1.2.2 空间中的平行关系

教材知识检索

考点知识清单

1．平行直线

(1)在空间中两条不重合的直线有三种位置关系： 、 、 . (2)在同一平面内不相交的两条直线叫做 ． (3)过直线外一点 一条直线与已知直线平行． (4)公理4． .

(5)等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别 ，并且____相同，那么这两个角____． 2．直线与平面平行

(1)直线与平面的位置关系有：

如果一条直线和一个平面有两个公共点，则这条直线 ，记作____；

如果一条直线和一个平面有且只有一个公共点，则这条直线 ，记作____； 如果一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线____，记作 ． (2)直线与平面平行： a．判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线____，那么这条直线和这个平面____． b．性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这

第十讲—空间中的平行关系

一．课标要求：

1．平面的基本性质与推论

借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 2．空间中的平行关系

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行； ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；

拓扑空间中集合的导集

题目：拓扑空间中集合的导集

摘要：如果在一个拓扑空间中给定一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各不相同，因此可以对它们进行分类处理。本文介绍了拓扑空间中集合的导集。 正文：

1、拓扑空间的定义：

设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足如下条件： （1）X， ∈T；（2）若A，B∈T，则A∩B∈T；（3）若 ∈T，则 ，则称T是X的一个拓扑。

如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间或称集合X是一个相对于拓扑T的拓扑空间，或当拓扑T早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，则称集合X是一个拓扑空间。 2、导集的定义

设X是一个拓扑空间，AX．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．

即:(牢记)

3、 离散空间中集合的凝聚点和导集．

设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座10）—空间中的平行关系

一．课标要求：

1．平面的基本性质与推论

借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 2．空间中的平行关系

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直

吉林省东北师范大学附属中学2015春高中数学 1.2.3.2空间中的垂

直关系学案 文 新人教A 版必修2

一、复习：（1）空间线线垂直的定义 （2））空间线面垂直的定义

（3）空间线面垂直的判定定理及推论。

（4）重要结论：

（ⅰ）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任意直线 。 （ⅱ）过空间一点和已知平面垂直的直线只有 条。

（ⅲ）过空间一点和已知直线垂直的平面只有 个。

二、自主学习：自学52P -54P 回答：

1。两个平面互相垂直的定义：

如果两个相交平面的交线与第三个平面 ，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条 交线 ，就称这两个平面互相垂直。

2。两个平面互相垂直的判定定理与性质定理：

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，则这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线是直线 于另一个平面。

三、典型例题。自学53P -54P 例4、例5

补充例6。 如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD//CE ，且CE=CA=2BD ，M 是EA 的中点，求证：

（1）DE=DA ；

（2）平面BDM ⊥平面E

很多同学觉得画思维导图很麻烦，其实用思维导图背课文有很多优势：文章结构一目了然：思维导图能够让大家从总体上把握文章结构；关键词形象化：思维导图背课文通过提取关键词使之形象化，是思考的记忆过程，而非死记硬背。那么接下来就以实例解说一下。

An exciting trip 激动人心的旅行I have just received a letter from my brother, Tim. He is in Australia. He has been there for six months. Tim is an engineer. He is working for a big firm and he has already visited a great number of different places in Australia. He has just bought an Australian car and has gone to Alice springs, a small town in the centre of Australia. He will soon visit Darwin. From there, he will