二元函数可积与连续的关系

第四章 二元关系和函数

第一节、集合的笛卡儿积与二元关系

有序对ordered pair定义:有两个元素x,y(允许x=y)按给定顺序排列组成

的二元组合称为一个有序对 ,记作<x,y>其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。例、平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 实数对,我们可用<x,y>表示。 注:有序对是讲究次序的,例<1,3>和<3,1>是表示平面 上两个不同的点,这与集合不同,{1,3}和{3,1}是两个相等的 集合。 性质1:如x y即<x,y> <y ,x>。 性质2:<x,y>=<a,b>的充要条件是x=a,y=b.

n元有序对有序对可推广到n个元素，设A1, A2, …, An是 集合，a1 A1, a2 A2, …, an An是元素，定义有 序n元组(ordered n-tuple)为<, an>,注意这是一个归纳(inductive) 定义，将有序 n元组的定义归结为有序 n-1 元组 的定义。 显然有 =

编号：

Xxxxxxxx学校

本科毕业论文

二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论

院 系：数学科学系 姓 名：XXXX 学 号：XXX 专 业：XXXX 年 级：2008级 指导教师：XXX 职 称：讲师 完成日期：2012年5月

摘 要

二元函数微分学是高等数学的重点之一,理清其基本概念之间的相互关系对于认识二元函数的性质有重要的意义,只有这样才能弄清楚二元函数连续、偏导数及可微之间的关系,才能更好地加以利用.本论文将重点对它们之间的关系加以总结和探讨,并给以证明和应用举例.

本论文正文主要介绍了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的基本知识.对它们分别进行了总结证明和进一步讨论,还总结二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的简单关系,并举出的例子加以论证支撑.

关键词：二元函数；连续；偏导数；可微

I I

Abstract

Binary Function Differential Calculus is one of the priorities of the higher mathematics, to cla

第四章 二元关系 和函数1 2 3 4 5 6 7笛卡尔积与二元关系 关系的运算

关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数

二元关系和函数1DEFINITION 1.

笛卡尔积与二元关系

设n为一正整数，由n个元素x1,x2,…,xn按 一定顺序排列成的一个序列<x1,x2,…,xn>称 为有序n元组。(The ordered n-tuple <x1,x2,…,xn> is the ordered collection that has x1 as its first element, x2 as its second element, … , and xn as its nth element.)2

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 2.

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B 中元素为第二元素，构成有序对，所有这样 的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积， 记做A×B. (Let A and B be sets. The Cartesian product of A and B, denoted by A×B, is the set of all ordere

第四章 二元关系 和函数1 2 3 4 5 6 7笛卡尔积与二元关系 关系的运算

关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数

二元关系和函数1DEFINITION 1.

笛卡尔积与二元关系

设n为一正整数，由n个元素x1,x2,…,xn按 一定顺序排列成的一个序列<x1,x2,…,xn>称 为有序n元组。(The ordered n-tuple <x1,x2,…,xn> is the ordered collection that has x1 as its first element, x2 as its second element, … , and xn as its nth element.)2

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 2.

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B 中元素为第二元素，构成有序对，所有这样 的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积， 记做A×B. (Let A and B be sets. The Cartesian product of A and B, denoted by A×B, is the set of all ordere

平顶山学院毕业论文(设计)

引言

在日常生活中，关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念，我们都熟知关系一词的含义，例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系，如“4大于2”，“P在点a，b之间”.

在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念，广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系，数据库的数据特性关系，其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类，进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念，通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.

最基本的关系就是二元关系，就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如

B可以从事?，有三个人A,B,C和四项工作?，?，?，?.已知A可以从事?和?，

C可以从事?和?，那么人和工作之间的对应关系可以记作:

R???A,??,?A,??,?B,??,?C,??,?C,???.

这是人的集合?A,B,C?到工作的集合??，?，?，??之间的二元关系.

一 基础知识

定义1?? 设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素，

离散数学

第三章 --- 二元关系(2)S 与 R 的合成 )

Functions 函数

为 X 到 Z 的关系

合成运算是对关系的二元运算， 合成运算是对关系的二元运算，它能够由两个关 系生成一个新的关系，并可以以此类推。 系生成一个新的关系，并可以以此类推。首先看一个 合成运算的例子， 合成运算的例子，如果 是关系“ 的兄弟” 是关系“是…的兄弟”, 的兄弟 是关系"是 的叔 是关系 是…的叔

是关系“ 的父亲” 是关系“是…的父亲”,那么 的父亲 伯"。 。2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系如果在关系R和 中各有一个有序对 中各有一个有序对， 如果在关系 和S中各有一个有序对，使 且 而且 ，则 是关系

Functions 函数

的元素。 的元素。

包含全部这样的有序对。 包含全部这样的有序对。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

因为 但不存在y使 但不存在 使

且

,故 ，故没有y使 故没有 使

。虽有 。也没有x使 也没有 使

,

2011-2-27

Hongzhi Qiao, Xi

离散数学

第三章 --- 二元关系(2)S 与 R 的合成 )

Functions 函数

为 X 到 Z 的关系

合成运算是对关系的二元运算， 合成运算是对关系的二元运算，它能够由两个关 系生成一个新的关系，并可以以此类推。 系生成一个新的关系，并可以以此类推。首先看一个 合成运算的例子， 合成运算的例子，如果 是关系“ 的兄弟” 是关系“是…的兄弟”, 的兄弟 是关系"是 的叔 是关系 是…的叔

是关系“ 的父亲” 是关系“是…的父亲”,那么 的父亲 伯"。 。2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系如果在关系R和 中各有一个有序对 中各有一个有序对， 如果在关系 和S中各有一个有序对，使 且 而且 ，则 是关系

Functions 函数

的元素。 的元素。

包含全部这样的有序对。 包含全部这样的有序对。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

离散数学

第三章 --- 二元关系

Functions 函数

因为 但不存在y使 但不存在 使

且

,故 ，故没有y使 故没有 使

。虽有 。也没有x使 也没有 使

,

2011-2-27

Hongzhi Qiao, Xi

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第三章 --- 二元关系

Functions 函数

在实际问题中， 在实际问题中，我们感兴趣的往往不是一般的关 系，而是具有某些特殊性质的关系。为了更好的处理 而是具有某些特殊性质的关系。 这些关系，有必要深入研究关系的性质。 这些关系，有必要深入研究关系的性质。对A上的关系 上的关系 来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、 来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、 反对称性、传递性。 反对称性、传递性。

2011-2-27

Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

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第三章 --- 二元关系上的关系R, 对A上的关系 ，若对任意的 上的关系 上自反的关系； 称R为A上自反的关系；若对任意的 为 上自反的关系 则称R为 上非自反的关系 则称 为A上非自反的关系 这个定义也可以写成： 这个定义也可以写成： 在A上是自反的 上是自反的 在A上是非自反的 上是非自反的2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.

Functions 函数

都有 都有

,则 ，

离散数学

第三章 --- 二元关系如果R是 上自反的 上自反的， 如果 是A上自反的，

Functions 函数

则关系矩阵M(R)的主对角线元素都

研究二元函数(多元函数)的思想方法

一、研究二元函数（多元函数）的思想方法，总的说来有两种：一种称为多重法，用这种方法研究二元函数就是使两个自变量同时变化，一般来说，凡涉及多元函数的一些重要概念和理论多采用多重法，例如多元函数的极限、连续、可微、极值等概念就是如此；另一种是暂时令其中某一个自变量变化，其余的自变量都视为常数，即将二元函数（多元函数）化为一元函数来研究，这种方法称为转化法或单一法。一般来说，凡计算二元函数的某些量多采用此法，例如二元函数的累次极限、偏导数等。

二、二元函数是一元函数的推广，所以必然保留一些与一元函数类似的性质，如一元函数的极限、连续的运算性质可以类比的推广到二元函数，在学习中大家要注意这种类比的方法。 我们既要领会二元函数与一元函数的共性，更要注意它们的差别：例如， z

x就是一个

整体记号，而不是 z与 x的商，可导（偏导数存在）不一定连续，可微与可导不等价等等，这些差别需要我们尤其注意。

一元函数与多元函数的不同从方法论上可以这样理解：一元函数中的重要性质或理论，如果在多元函数中涉及到且以多重法给出，那么这种性质或理论就仍可保持；反之，如果在多元函数中涉及的概念既有用多重法又有用单一法给出，则这种性质或理论就不再保持

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MATLAB绘制二元函数的图形

【实验目的】

1.了解二元函数图形的绘制。 2.了解空间曲面等高线的绘制。 3.了解多元函数插值的方法。

4.学习、掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】

画出函数z?x2?y2的图形，并画出其等高线。 【实验准备】

1.曲线绘图的MATLAB命令

MATLAB中主要用mesh,surf命令绘制二元函数图形。主要命令 mesh（x，y，z）画网格曲面，这里x，y，z是数据矩阵，分别表示数据点的横坐标，纵坐标和函数值，该命令将数据点在空间中描出，并连成网格。

surf（x，y，z）画完整曲面，这里x，y，z是数据矩阵，分别表示数据点的横坐标，纵坐标和函数值，该命令将数据点所表示曲面画出。

【实验重点】

1. 二元函数图形的描点法 2. 曲面交线的计算 3. 地形图的生成 【实验难点】

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1. 二元函数图形的描点法 2. 曲面交线的计算 【实验方法与步骤】

练习1 画出函数z?x2?y2的图形，其中(x,y)?[?3,3]?[?3,3]。用MATLAB作图的程序代码为

>>clear;

>>x=-3:0.1:3; %x的范围为[