柱体锥体台体的表面积和体积教学设计学情

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1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积和体积

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提出问题在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

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引入新课正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和. 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积.

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

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棱柱的展开图棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？

S 直 棱 柱 侧 ch ( c 为 底 面 周 长 , h为 高 )

h正棱柱的侧面展开图

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棱锥的展开图棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？

正棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

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棱锥的展开图棱锥的侧面展

导学案

§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）

班级 姓名 时间

1. 了解柱、锥、台的体积计算公式；

2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决 2526

复习1：多面体的表面积就是___________________ 加上___________.

复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是r，圆台下底面的半径是r ，母线长都为l,则S圆柱 _______________________,

S圆锥 ___________，S圆台 __________________.

引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式V Sh（S为底面面积，h为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？

二、新课导学 ※ 探索新知

新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)

柱体体积公式为： 锥体体积公式为： 台体体积公式为：

反思：思考下列问题

⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？

⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？

※ 典型例题

例1 如图(1)所示，

1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

【教学目标】

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 【教学重难点】

教学重点：运用公式解决问题 教学难点：理解计算公式的由来. 【教学过程】 （一）情景导入

讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？ 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？ 那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）展示目标

这也是我们今天要学习的主要内容:

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（三）检查预习

1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图

高二数学必修2第一章空间几何体导学案 编制人： 审核人： 班级： 小组： 姓名： 等级：

§1.3.1 《柱体、锥体、台体的表面积》导学案

【学习目标】

1.能根据柱、锥、台的结构特征，并结合它们的展开图推导其表面积的计算公式； 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，并能简单应用。 【重、难点】柱体、锥体、台体的表面积公式及应用。

【预习案】

一.复习:

(1)正方形的表面积公式： 长方形的表面积公式：

c

b a a

(2)常见平面图形的面积公式： h h b a a a a

(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; a

r r h l

n b

(5)

第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

A级 基础巩固

一、选择题

1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )

A．4倍 B．3倍 C.2倍

D．2倍

解析：设轴截面正三角形的边长为2a，

所以S底＝πa2，

S侧＝πa·2a＝2πa2，因此S侧＝2S底． 答案：D

2.如图所示，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )

1A. 32C. 3

1B. 23D. 4

1112

解析：因为VC-A′B′C′＝V柱＝，所以VC-AA′B′B＝1－＝.

3333答案：C

3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )

A．π B．2π C．4π D．8π

解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr·2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2·2r＝2πr3＝2π.

答案：B

4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米

第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

A级 基础巩固

一、选择题

1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )

A．4倍 B．3倍 C.2倍

D．2倍

解析：设轴截面正三角形的边长为2a，

所以S底＝πa2，

S侧＝πa·2a＝2πa2，因此S侧＝2S底． 答案：D

2.如图所示，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )

1A. 32C. 3

1B. 23D. 4

1112

解析：因为VC-A′B′C′＝V柱＝，所以VC-AA′B′B＝1－＝.

3333答案：C

3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )

A．π B．2π C．4π D．8π

解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr·2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2·2r＝2πr3＝2π.

答案：B

4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米

《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》同步练习1

【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．

1．旋转体的表面积

名称 图形 公式 底面积：S底＝________ 圆柱 侧面积：S侧＝________ 表面积：S＝2πr(r＋l) 底面积：S底＝________ 圆锥 侧面积：S侧＝________ 表面积：S＝________ 上底面面积： S上底＝____________ 下底面面积： 圆台 S下底＝____________ 侧面积：S侧＝__________ 表面积： S＝________________ 2．体积公式 (1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______． (2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．

1

(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝3(S′＋S′S＋S)h．

一、选择题

1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( ) 842

A．8 B．π C．π D．π 2．一个圆柱的侧面展开图是

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图

是什么？如何计算它们的表面积？

③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并

且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r ,r,母线长为I,你

能计算出它的表面积吗？

⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式

②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和?

③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状

④学生思考圆台的侧面展开图的形状?

⑤提示学生用动态的观点看待这个问题?

讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和?因此，我们可以把它们展成平面图形，利

用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和

③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求

数学

1.3.1 柱体、锥体、台体，球体的体积

数学

祖暅原理 夹在平行平面α、β间的两个几何体，被平行于α、β的任何一个平面所截， 如果截面(阴影部分)的面积 S1=S2,那么这两个几何体的体积 夹在两个平行平面间的两个几何体， 夹在两个平行平面间的两个几何体， 一定相等。

被平行于这两个平面的任何平面所截， 被平行于这两个平面的任何平面所截， 如果截得的两个截面的面积都相等， 如果截得的两个截面的面积都相等，那 么这两个几何体的体积相等。 么这两个几何体的体积相等。祖暅β S1 S2

α

数学

我国古代著名数学家祖冲之在计 算圆周率等问题方面有光辉的成就。 祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出 贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪 末提出了这个体积计算原理。 祖暅提出这个原理，要比其他国 家的数学家早一千多年。在欧洲知道 17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri .B,1598年~1647年)提 出上述结论

(429年~500年)

数学

取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，这时高度 取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状， 没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书的体积与变形前相等。 没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书

1

球的体积和表面积教学设计

一、 三维目标

1、知识与技能：

（1）掌握球的体积公式343V R π=，表面积公式24S R π=. （2）会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．

（3）能解决球的“内接”与“外切”的几何体问题及与球的截面有关的计算问题．

2、过程与方法：

通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生直观想象能力. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力

3、情感、态度、价值观：

通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育.

二、 教学重点、难点

重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.

难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题

三、教学方法和手段

1、采用实验演示等教学方法.

2、教辅手段：PPT 等多媒体课件，英壬画板.

四、教学过程

1.球的概念：

球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面所为成的几何体叫做球体，简称球. 一个球用表示它的球心的字母表示，例如球O ．

问题提出：球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容.

2．球的体积： 33

4R V π=球 3.球