矩阵正交的定义

正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义

定义1 n阶实矩阵A，若满足A?A?E，则称A为正交矩阵. 定义2 n阶实矩阵A，若满足AA??E，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足A??A?1，则称A为正交矩阵. 定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； <2>A′，A*也是正交矩阵；

当∣A∣=1时，A??A*，即aij?Aij；

1

当∣A∣=-1时,A???A*,即aij??Aij.

<3>若B也是正交矩阵，则AB,A?B,AB?,A?1B,AB?1都为正交 矩阵.

证明 <1>显然 A??1

(A?1)???A???(A?1)?1 所以A?1也是正交矩阵.

?1<2>A??A?1，显然A?为正交矩阵.

A*由 A??1，A??A

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

给出行正交矩阵的概念,并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问题,得到行正交矩阵的行列式、等于正负1、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.

第 3卷第 1 7期

西南民族大学学报 然科学版自J u a f o t we t i e s y f r t n l i sNau a c e c i o o r l u h s v r i o i ai e t r l i n eEd t n n o S Un t Na o t S i

文章编号： 0 324 (0 1 1 0 10 10 832 1) - 7— 0 0 4

行正交矩阵的一些性质贾书伟，何承源(西华大学数学与计算机学院，四川成都 6 0 3 ) 10 9

摘

要：给出行正交矩阵的概念，并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问，题得到行正交矩阵的行列式

等于正负 l、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.关键词：矩阵；正交矩阵；行正交矩阵； (对称矩阵行列)中图分类号： 5 . Ol 1 2文献标志码： A

d i 03 6/i n10 -4 3 0 0 .1 o:1 . 9 .s.0 32 8. 1.1 8 9 js 2 1

矩阵的Jordan标准形有两个局限，其一、是只有方阵才能求其Jordan标准形；其二、Jordan标准形毕竟不如对角矩阵来得方便。本节讨论的矩阵奇异值分解，将克服这些局限性。 定理1如果A为n阶复矩阵，则有：

1）矩阵AA，AA的特征值都是非负实数； 2）矩阵AA与AA的非零特征值都相同。

n证：1）设??C为AA的特征值?所对应的特征向量，则AA是Hermite矩阵，所以?HHHHHH是实数；并且0??A?,A???因为??0，所以??0。

??,AHA????,???????,??，

?同理可证，AA的特征值也是非负实数。

3）将AA的特征值按顺序记为：?1??2????r??r?1??r?2????n?0， 设?i?CHHHn?i?1,2,?,r?为AHA的非零特征值?i?i?1,2,?,r?所对应的特征向量，

?i?i?1,2,?,r?，有(AAH)A?i=?iA?i?i?1,2,?,r?，

则由AA?i=?i因为A?i是非零向量，所以?i也是AAH的非零特征值；

HH同理可证，AA的非零特征值也是AA的非零特征值。

以下证明AA与AA的非零特征值完全相同，这只要证明AA与AA的非零特征值的代数重数相同即可。

设y1,y2,?,yp为

qr分解 论文呢

第３１卷第３期

２０１佛山科学技术学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｏｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｖ０１．３１ＮＯ．３３年５月Ｍａｙ２０１３文章编号：１００８—０１７１（２０１３）０３—００４４—０４

基于Ｇｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ正交法的

矩阵并行ＱＲ分解算法

黄丽嫦，黄润

（佛山职业技术学院计算机系，广东佛山５２８１３７）

摘要：分析了线性无关向量组的Ｇｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ正交化过程以及矩阵的ＱＲ分解原理。在多核架构的微机中，设计实现了一种基于Ｇｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ正交法的矩阵ＱＲ多核并行分解算法。新算法易于计算机编程实现，数值实验也验证了算法具有良好的并行性。

关键词：Ｇｒａｍ—Ｓｃｈｍｉｄｔ正交法；ＱＲ分解；多核并行计算

中图分类号：０１５１．２１文献标志码：Ａ

矩阵的ＱＲ分解在数值代数中有着重要的应用，它为矩阵特征值的数值求解提供了理论依据，并且也是求解最小二乘问题、最优化问题和某些病态方程组的有效工具。ＱＲ分解的优点是具有良好的数值稳定性，无须像选主元策略那样进行某些行或列的交换；而缺点就是在分解过程中所产生的串行计算次数远高于Ｉ。Ｕ、Ｃｈｏｌｅｓｋｙ等其他矩阵分解，为此，研究

本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用

学院：

专业：数学与应用数学

学号：

学生姓名：

指导教师：

二〇一一年六月

摘要

如果n阶实矩阵A满足T

,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．

A A E

本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．

关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率

I

Abstract

Orthogonal matrices and its applications

If a n-dimensional real matrix A satisfies E

AA T ,we call it orthogonal matrix. Or

理解矩阵（一）

2006-04-02 00:30 54984人阅读 评论(145) 收藏 举报

前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的

正交试验设计

什么是正交试验设计 正交试验设计表 正交试验设计的安排 正交试验设计的极差分析 较优条件选择 正交试验分析方法 正交试验设计的基本思想 正交试验设计的过程[1] 什么是正交试验设计 正交试验设计表 正交试验设计的安排 正交试验设计的极差分析 较优条件选择 正交试验分析方法 正交试验设计的基本思想 正交试验设计的过程[1] ? 正交试验设计法与遗传算法的联系[2] ? 正交试验设计的案例分析[3] 展开 什么是正交试验设计 正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。 日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行3^3 = 27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3)正交表安排实验，只需作9次，按L18(3)正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正

正交多项式的性质

（李锋，1080209030）

摘要：本文主要阐述了由基{1,x,x2,?,xn,?}按G-S正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及

其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。

正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram矩阵

的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。因而，有必要分析正交多项式有用的性质。

在区间[a,b]上，给定权函数?(x)，可以由线性无关的一组基{1,x,x2,?,xn,?}，利

用施密特正交化方法构造出正交多项式族{?n(x)}?由?n(x)生成的线性空间记为?。对0，

*于f(x)?C[a,b]，根据次数k的具体要求，总可以在?在找到最佳平方逼近多项式?k (x)。

?n(x)的具体形式为：

(xn,?k)?0(x)?1;?n(x)?x???k(x),n?1,2?

k?0(?k,?k)nn?1这样构造的正交多项式?n(x)具有以下一些有用的性质： 1.

?n(x)为最高次数项系数为1的n次多项式；

2. 任一不高于n次的多项式都可以表示成

???kk?0

正交试验设计

1 正交试验设计的概念及原理 1.1 基本概念

利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。

特点：在试验因素的全部水平组合中，仅挑选部分有代表性的水平组合进行试验。

通过部分实施的试验结果，了解全面试验情况，从中找出较优的处理组合。

考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验 。

A因素：增稠剂用量，A1、A2、A3 B因素：pH，B1、B2、B3 C因素：杀菌温度，C1、C2、C3 3因素 3水平 3＝27

3

全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。

? 正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析； ? 当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。

? 虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。 1.2 基本原理

在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水平， 可以理解为在选优区内打上网格，

如果网上的