高等数学导学教程北理工答案

《高等数学复习》精选教程

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第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限

3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

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1.lim

arctanx xln(1 2x)

3

x 0

lim

arctanx x

2x

3

x 0

16

（等价小量与洛必达）

2.已知lim

sin6x xf(x)

x

3

x 0

0，求lim

6 f(x)

x

2

x 0

解：x 0

lim

sin6x xf(x)

x

3

lim

6cos6x f(x) xy'

3x

2

x 0

lim

36sin6x 2y' xy''

6x6

x 0

lim

216cos6x

昆明理工大学2001级高等数学[下]期末试卷

一、填空（每小题4分，共24分）

1．函数z ln(1 x y)的定义域是，函数在. 2．设函数z sin(x y)，则

2

2

2

2

z z

， y x

4．设 :x y z a，则曲面积分

2

2

2

2

(x

2

y2 z2)dS.

2

5．设D: 1 x 1,0 y 2，则二重积分

x

D

yd .

6．如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之

为 解. 二、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．求函数z e

2

ax2

by2

（a,b为常数）的全微分.

2

2．求曲面x 2y z 0在点处的切平面方程和法线方程. 3．求微分方程(1 e)yy e的通解. 三、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．设z xy xF(u),而u 2．计算三重积分域.

3．计算曲面积分

x

x

z zy

y. ,F(u)为可导函数，试计算x x yx

22

z z x y其中是由曲面所围成的闭区zdxdydz,.

xyzdydz，其中 是柱面x

2

y2 a2(x 0)介于平面y 0及

y h(h 0)之间部分的前侧。

四、（12分）求微分方程y'' 3y' 2y cosx的通解.

五、（12分）求

高等数学导学班讲义（上册）

第一章：函数与极限

本章数一、数二、数三复习内容大同小异。

一、本章教材中可删掉的内容及可以不做的习题

1、 本章第一节中的集合、映射、双曲函数数一、数二、数三的考生都不用复习，相应习题不做；

2、 本章利用极限定义（ N, , X）证明的题目可以不做； 3、 本章第十节中的“三、一致连续性”三类考生都不用复习。

二、本章需修改的概念

1、间断点

定义1：函数f(x)在x0的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数有下列三种情况之一

① 在x0点没有定义；

② 虽在x0点有定义，但limf(x)不存在；

x x0

③ 虽在x0点有定义，且limf(x)存在，但limf(x) f(x0)

x x0

x x0

则x0叫f(x)的一个间断点。

例如：y ln(x 1)，点x 1,x 2都不是间断点。 2、无穷间断点

定义2：设x0是f(x)的一个间断点，如果满足limf(x) 或limf(x) ，则x0叫

x x0

x x0

f(x)的一个无穷间断点。

例如：f(x) e

1

x 1

，则x0 1叫f(x)的一个无穷间断点。

三、关于本章一个定理的描述

本章中关于闭区间上连续函数的介值定理以下列方式描述更易把握其使用。

定理：如果f(x)在闭区间[a,b

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

高等数学上册导学案 目 录

第一部分 常考题型与相关知识提要 1 第二部分 理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集（8套题） 18 01—08级高等数学(上)期末试题试题参考解答 26

第三部分 高等数学(上)期末模拟练习题（5套题） 39

模拟试题参考解答 46

第四部分 09级高等数学（上）考前最后冲刺题（1套题） 57

第一部分 常考题型与相关知识提要

题型一 求极限的题型 相关知识点提要 须熟记下列极限: (1)基本的极限：

?0, q?1? 1）limqn??， 2）limna?1,(a?0)，limnn?1 1, q?1n??n??n???发散, q?1,q??1??0,n?m?anxn?

湖北理工学院2013—2014学年度第（2）学期试卷

2013级理工科各专业《高等数学AII》期末试卷（Ａ）

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《高等数学》第一批次作业

一、选择题

f?x?与lim?f?x?都存在是limf?x?存在的（ B ）. 1．lim?x?x0x?x0x?x0A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 2．若数列?xn?有界，则?xn?必（ C ）.

A. 收敛 B. 发散 C. 可能收敛可能发散 D. 收敛于零

x2?13．lim2?（ C ）.

x??1x?x?2A. 0 B. ?223 C. D.

323'4．若在区间?a,b?内，f?x?是单调增函数，则fA. ?0 B. ?0 C. ?0 D. ?0 5．xdy?ydx?0的通解是（ A ）. A. y?Cx B. y??x?（ A ）.

C C. y?Cex D. y?Clnx x6. 函数z?f?x,y?在?x0,y0?连续是f?x,y?在?x0,y0?可偏导的（ D ）. A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 以上说法都不对 7. 如果f'?x?存在，则xlim?x0f?x0??f?x??（ B

习题1. 3（A）（P43）提示（仅供参考）

1．设函数f?x?在点x0附近有定义，且lim?f?x0?h??f?x0?h???0，问f?x?是

h?0否必在x0连续？

1?cos?答：不一定！f?x???x??0x?0x?0在x0?0处满足条件而连续。

2若函数f?x?在?a,b?内的任何一个闭子区间?a??,b???上连续，证明f?x?在

?a,b?内连续。

?x?ab?x0?证明：对?x0??a,b?，记??min?0,?，取???，则

2??2x0??a??,b?????a??,b???

由f?x?在?a,b?内的任何一个闭子区间?a??,b???上连续可得f?x?在x0连续， 由x0任意性可得f?x?在?a,b?内连续。

3 证明若f?x?在x0连续，则f?x?在x0也连续，问反之是否成立？ 证明 由f?x?在x0连续有

x?x0limf?x??f?x0?

故

x?x0limf?x??f?x0?

即f?x?在x0也连续。

?1反之不成立，例y????1x?Q。 x?Q4 设f?0??g?0?，当x?0时，f?x??g?x?，试证f?x?与g?x?这两个函数中至多有一个在x?0处连续。

证明：若f?x?与g?x?这两个函数在x?0处都连续

9．设曲线f(x)在区间[a，b]内是凸曲线，且x0 [a,b]，则，lim

x x0

f (x) f (x0)

x x0

（选＞、＜或＝）；

x 1,x 0

x 0，则，f f f( 1) 10．已知f(x) ,

0,x 0 （2，3)为曲线f(x)上的一个拐点，则f (2) 11．设点M

xn

12．幂级数 n的收敛半径为 2 ；

n 12n

13．

2 xy 41

；

(x,y) (2,0)4xylim

1

x22

14．微分方程y xy 0的通解是y Ce

；

15．已知 f（0）=2，f（2）=3，f (2) 4，则，

2

2

yx

2

xf (x)dx.

二、求由方程x y e（10分）

d2y

所确定隐函数y的二阶导数2。

dx

解；对方程两边求x的导数 整理得

x yy 2x2 y2

2

2

e

y

arcn

x

y x y

，

x2 y2

由x y e

yx

得

y

x y

x y

2(x2 y2)

对上式两边求导整理 得 y

(x y)3

2nn!

讨论级数 n的敛散性。（13分）

n 1n

代入，得 所求平面的方程x

un 1 un

2n 1(n 1)!

(n 1)(n 1)

lim

n 2nn!

nn

yz

1 23

2x

高等数学基础第一次作业点评1

第1章 函数

第2章 极限与连续

（一）单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．

2 A. f(x)?(x)，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x

x2?13 C. f(x)?lnx，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?

x?1 ⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（ C ）对称．

A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．

A. y?ln(1?x) B. y?xcosx

2ax?a?x C. y? D. y?ln(1?x)

2 ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. y?x?1 B. y??x C. y?x2??1,x?0 D. y??

1,x?0?⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．

x2?1

AnnalsofMathematics,157(2003),919–938

LargeRiemannianmanifolds

whichare exible

ByA.N.Dranishnikov,StevenC.Ferry,andShmuelWeinberger*

Abstract

Foreachk∈Z,weconstructauniformlycontractiblemetriconEuclideanspacewhichisnotmodkhypereuclidean.WealsoconstructapairofuniformlycontractibleRiemannianmetricsonRn,n≥11,sothattheresultingmani-foldsZandZ areboundedhomotopyequivalentbyahomotopyequivalencewhichisnotboundedlyclosetoahomeomorphism.Weshowthatfortheself(Z)→K (C (Z))fromlocally -spacestheC -algebraassemblymapK

niteK-homologytotheK-th