容斥问题如何计算

容斥问题（四年级）

1、植树节那天，学校每个年级的学生都去郊外义务植树，其中有23棵不是五年级种的，有21棵不是六年级种的，五、六年级植的树共有8棵，其他年级种的树有多少棵？

2、在100名学生中，有78人语文测试得优秀，85人数学测试得优秀，最少有多少人语文、数学测试都得优秀？

3、某班有学生44人，书法爱好者有30人，体育爱好者有25人，每人至少有这其中的一种爱好，这个班有多少人既爱好书法又爱好体育？

4、北京大学某班会说英语的有30人，会说法语的有25人，既会说英语又会说法语的有13人，全班学生至少会说一种外语，全班有多少学生？

5、在200名学生中，参加书法兴趣小组的有110人，参加围棋兴趣小组的有50人，其中两个小组都参加的有30人，那么，两个小组都不参加的有多少人？

6、在1至1000的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个？

7、某班有68人，参加足球兴趣小组的有32人，参加排球兴趣小组的有30人，如果两个兴趣小组都没有参加的有25人，那么同时参加足球、排球两个兴趣小组的有多少人？

8、某班学生排队，全班排成5行，每行的人数相等地，小星排的位置是：从前面数第8个

学生课题名称 ：容斥原理 授课教师 ：刘彬

教学目标 1：了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2：掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识点一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A“和”或者“或”的意思；符号“

B?A?B?AB(其中符号“

”读作“并”，相当于中文

”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包

含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆

B，即阴影面积．

与小圆的公共部分，记为：A

1．先包含——A?B

重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A?B?AB

把多加了1次的重叠部分AB减去．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来

容斥原理

知识框架图 7-7-1两量重叠问题 7-7-2三量重叠问题 7 计数综合 7-7 容斥原理 7-7-3图形中的重叠问题 7-7-4容斥原理在数论问题中的应用 7-7-5容斥原理中的最值问题

教学目标

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“

”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“

”读

作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，

B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．

1．先包含——A?B 重叠部分A B计算了2次，多加了1次； A?B?AB7-7.容斥原理.题库

教师姓名 学生姓名 学科 年级 数学 四年级 让我们一起为了孩子的进步而努力！ 纳思书院Nice Education 上课时间 2016年 月 日 --- 课题名称 专题八：容斥问题 教学目标 1、了解容斥原理；2、会求两个量和三个量的容斥问题 教学重点 容斥问题 教学过程 专题八：容斥问题 一、两量重叠问题 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对 n 个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）， Na Nab Nb 那么具有性质a的事物的个数 = Na； 具有性质b的事物的个数 = Nb； 具有性质a或性质b的事物的个数 = Na + Nb－Nab。 具有性质a不具有性质b的事物的个数 = Na－Nab； 具有性质b不具有性质a的事物的个数 = Nb－Nab； 例题学习 【例1】一个旅行社，每人至少会一种外语，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两种都会的有4人，旅行社总共有多少人？ 第1页 / 共7页

行测备考之容斥问题

上海市考即将来临，面对行测试卷中的数量关系，很多考生觉得自己数学基础较弱选择全部放弃。但是数量关系的题量、分值真实存在，大家要克服心理障碍，接受数量关系，由浅及深，不断突破。在数量关系中有一些较简单易得分的知识点包括容斥、鸡兔同笼、整除、利润等。今天我们先来学习容斥问题，所谓容斥，从字面意思上理解，就是包容与排斥，容斥问题的本质是研究集合与集合之间的关系。

一、方法

1.文氏图法：利用有着重叠区域的圆圈来表示不同的集合，每个区域代表不同的概念。

2.公式法：常见题型有可以直接代入的公式，公式法直观且节省时间，只需明确核心为“保留为一层”。

二、题型

（一）两者容斥

公式：I=A+B-A∩B+Y

例题：40人参加期末考试，某科目只有理论和实验均及格方为通过。在理论考试中有34人及格，实验有32人及格，两次考试中，都没有及格的有4人。通过该考试的有多少人？

A.30人

B.32人

C.34人

D.36人

中公解析：设既没通过理论考试又没通过实验的人数为x，根据两者容斥公式得：

34+32-x+4=40，解的x=30，因此选择A。

（二）三者容斥

公式1：I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+x

公式2：I=A+B+C-两者交集-2×三者交集+x

四年级奥数专题——容斥问题

知识引领： 专题简析：

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。

NaNabNb

1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？

3、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？

例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

4、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每

第四专题 容斥原理

教学时数：4学时 教学目标：

（1）理解组合数学三大原理之一的容斥原理；

（2）了解运用容斥原理处理的常见问题； （3）灵活使用容斥原理解决问题。 教学重点与难点：

如何将问题转化成可利用容斥原理解决的问题。 一、基础知识

（一）容斥原理及逐步淘汰原理 容斥原理：（1）（简单形式）

对任何有限集合A、B、C，有A?B?A?B?A?B；

（2）（一般形式）

对任何n个有限集合A1,A2,?,An，有

A1?A2???An??Ai?i?1n1?i?j?n?A?Aij?1?i?j?k?n?A?Aij?Ak

?????1? 简记：|n?1A1?A2???An

?A|??ii?1nI?{1,2,?,n}I??(?1)|I|?1|?Ai|

i?I逐步淘汰原理：（1）（简单形式）A?B?S?A?B

（2）（一般形式）A1?A2???An?S?A1?A2???An

（二）容斥原理的两种证明方法

证法一：（数学归纳法）

当n?2 时，要证明：|A1?A2|?|A1|?|A2|?|A1?A2|

这可由A1?A2等于不相交的两个集合A1和A2\\(A1?A2)的并推出，

维数定理与容斥原理

两个有限维子空间的和的维数定理：

dim(U1+U2)=dimU1+dimU2-dim(U1 ∩ U2) 两个有限集合元素个数的容斥原理：

card(U1∪U2)=cardU1+cardU2-card(U1 ∩ U2)

子空间的和类比于集合的并，那么维数定理和容斥原理形式上及其相似。为什么会有如此的巧合？

可以看到子空间的基底构成的集合在维数定理中扮演一个很重要的转换作用：选择U1 ∩ U2的基底并分别扩充到U1和U2的基底之后，设U1和U2的基底构成的集合分别为A1和A2，那么U1+U2, U1 ∩ U2的基底就分别对应A1∪A2和A1∩ A2。因此两个公式相似也就不足为奇。

那么是否可以把维数定理推广到多个子空间的情形呢？考虑三个子空间的情形，类比于三个集合的容斥原理

card(U1∪U2∪U3)=cardU1+cardU2+cardU3-card(U1 ∩ U2)-card(U2 ∩ U3)-card(U1 ∩ U3)+card(U1 ∩ U2∩ U3) 是否也有类似的三个子空间和的维数定理

dim(U1+U2+U3)=dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim(U2 ∩ U3

学越辅导—五年级数学思维训练

容斥问题

知识导航

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。关于这类的问题就称为容斥问题。由于容斥原理用公式解答容斥问题涉及到集合，学生较难理解，故本节主要教学生画文氏图来解答相关问题，生动形象，容易理解又富趣味性。

精典例题

例1：五年甲班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，

参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？。

思路点拨

根据题目，画个圆圈写上无，整圈代表了甲班参加无线电小组的人数。同样的，画个圆圈写上航，代表了甲班参加航模小组的人数。两个圆圈重叠部分代表了两组都参加的人数。把17人和14人相加得31人，怎么人数比原来参加的总数26人还多出了5个人？原来那5个人就是重叠部分被重复计算了的人数，也就是两组都参加的有5人。

模仿练习

50名同学参加兴趣小组，参加科技组的有40人，参加数奥数组的有28人，两个兴趣小组都参加的有几人？

1

学越

容斥问题

五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？

学校文艺组每人至少喜欢一种文艺表演，已知喜欢唱歌的有12人，喜欢跳舞的有19人，其中两种都喜欢的有8人。这个文艺组一共有多少人？

四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？

某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?

一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？

某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?

一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？

三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两