微分几何答案第二章梅向明

微分几何主要习题解答

第二章 曲面论

§1曲面的概念

1.求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r={ucosv0 ,u sinv0,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u {cosv0,sinv0,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r={ a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0}={ av0, bv0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ av0, bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;

v-曲线为r=｛a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v｝=｛au0, bu0,0｝+v{a,-b,2u0}表示过点(au0, bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线。

3．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}上任意点的切平面和法线方程。 解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0}

?????????x?acos?

第二章 曲面论 §1曲面的概念

1.求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r={ucosv0 ,u sinv0,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u {cosv0,sinv0,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线.

证 u-曲线为r={ a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0}={ av0, bv0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ av0, bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;

v-曲线为r=｛a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v｝=｛au0, bu0,0｝+v{a,-b,2u0}表示过点(au0, bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线.

3．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}上任意点的切平面和法线方程.

??解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0}

x?acos?cos?y?acos?sin??as

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第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) ×

???????r'(t)= 0。

? 分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=?(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向

??量函数，?(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，??即e(t)为常向量，（因为e(t)的长度固定）。

????? 证 对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=?(t)e(t)，若r(t)具有固

????????定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)=?'(t)e，所以 r×r'=??'（e×e）=0。

?????????反之，若r×r'=0 ，对r(t)=?(t)e(t) 求微商得r'=?'e+?e'，于是r×

?????????2r'=?（e×e'）=0，则有 ? = 0 或e×e'=0 。当?(t)= 0时，r(t)=0可与任意方

???????????向平行；当??0时，有e×e'=0，而（e×e')2=e2e'2-(e·e')2＝e'2，（因为e??????具有固定长， e·e'= 0） ，所以 e'=0，即e为常向量。所以

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§1曲面的概念

1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，

为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直

母线。

证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }

表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;

v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }

表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,

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§4.直纹面和可展曲面

?12 1. 证明曲面r={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

33?r12证法一： 已知曲面方程可改写为r={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令a(u)={u2,2u3,u4}，

33rrr?r122rb(u)={,u,u}，则=a(u)+ vb(u)，且b(u)?0，这是直纹面的方程 ，它满足

332u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

rrb(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹面，又因为

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2rrr?sinvcosv1=0，所以所给曲面为可展曲面。 (a',b,b')=

?cosv?sinv0证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv,

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§4.直纹面和可展曲面

?12r 1. 证明曲面={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

33?12r证法一： 已知曲面方程可改写为={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令

33rrr?rr122234a(u)={u,2u,u}，b(u)={,u,u}，则r=a(u)+ vb(u)，且b(u)?0，这是直

33纹面的方程 ，它满足

2u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv, rrsinv+vcosv, 2v}，b(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)rrr又因为(a',b,b')=

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2?sinv?cosvcosv?sinv1=0，所以所给曲面为可展曲面。 0?0，所以曲面为直纹面，

证法二

第二章 导数与微分

重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。

第一节 导数概念

1．填空题.

2??x, x?0（1） 已知f?x???，则 f?(0)= 0 .

2???x, x?01及x2?3的两点，作过这两点的割线，则抛物（2） 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?`线y?x2上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线.

（3） 已知f'(3)?2，则limh?0f?3??f?3?h?? 1 . 2h?x2, x?1b? -1 . （4）欲使函数使f?x??? 在x?1处可导，则 a? 2 ，?ax?b, x?12．选择题. （1）设y?f(x)在x?a处可导，则

x?0 lim'f?a?x??f?a?x??（ B ）

x''A. f(a)； B. 2f(a) ； C. 0 ； D. f(2a). （2）设 f(x)为可导

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§4.直纹面和可展曲面

?12r 1. 证明曲面={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

3333rrr?rr122234vb(u)，且b(u)?0，这是a(u)={u,2u,u}，b(u)={,u,u}，则r=a(u)+

33直纹面的方程 ，它满足

?12r证法一： 已知曲面方程可改写为={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令

2u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv, rrsinv+vcosv, 2v}，b(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹

1=0，所以所给曲面为0rrr面，又因为(a',b,b')=可展曲面。

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2?sinv?cosvcosv?sinv证法二

第二章 导数与微分

重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。

第一节 导数概念

1．填空题.

2??x, x?0（1） 已知f?x???，则 f?(0)= 0 .

2???x, x?01及x2?3的两点，作过这两点的割线，则抛物（2） 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?`线y?x2上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线.

（3） 已知f'(3)?2，则limh?0f?3??f?3?h?? 1 . 2h?x2, x?1b? -1 . （4）欲使函数使f?x??? 在x?1处可导，则 a? 2 ，?ax?b, x?12．选择题. （1）设y?f(x)在x?a处可导，则

x?0 lim'f?a?x??f?a?x??（ B ）

x''A. f(a)； B. 2f(a) ； C. 0 ； D. f(2a). （2）设 f(x)为可导

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§4.直纹面和可展曲面

?12 1. 证明曲面r={u2?v,2u3?uv,u4?u2v}是可展曲面.

33?r12证法一： 已知曲面方程可改写为r={u2,2u3,u4}+v{,u,u2}，令a(u)={u2,2u3,u4}，

33rrr?r122rb(u)={,u,u}，则=a(u)+ vb(u)，且b(u)?0，这是直纹面的方程 ，它满足

332u6u2rrr1u(a',b,b')=3014u322u=0 ,所以所给曲面为可展曲面。 34u3证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

rrb(v)={-sinv, cosv,1} ，易见b(v)?0，所以曲面为直纹面，又因为

?2sinv?vcosv2cosv?vsinv2rrr?sinvcosv1=0，所以所给曲面为可展曲面。 (a',b,b')=

?cosv?sinv0证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

?2。证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

r?rr证法一： 曲面的方程可改写为 r=a(v)+ ub(v)，其中a(v)={cosv-vsinv,