量子力学周世勋第三版课后答案

1

量子力学课后习题详解

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）

； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

dv e

c

hv d kT

hv v v 1

1

83

3

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πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）

λρρd dv v v -=， （3）

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v

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λ

λλρλρ

ρ

这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

011511

86

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hc

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hc

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2

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量子力学习题及解答

1

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）；

并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

dv e

c

hv d kT

hv v v 1

1833

-?

=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）

λρρd dv v v -=， （3）

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hc v v e

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ρ

这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

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hc kT hc e

kT hc e hc λλλλλ

§5.1 非简并定态微扰理论

如何分？假设 把微扰

本征值及本征函数较容易解出或已有现成解， 是小量能看成微扰，在已知解的基础上，

的影响逐级考虑进去。

代入方程

同次幂相等

（

（1）

(2)

(3)

① 求能量的一级修正

(2)式左乘

并对整个空间积分

1

能量的一级修正 等于 在

态中的平均值。

②求对波函数一级修正

将

仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含

将上时代入式 (2)

左乘上式，对整个空间积分

以

令

上式化简为：

2

③求能量二级修正

把 代入(3)式，

左乘方程（3）式，对整个空间积分

左边为零

讨论：（1）微扰论成立的条件：

(a) 可分成 ，

是问题主要部分，精确解已知或易求

(b)

（2）可以证明

<<1

例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场

作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

【解】

3

是 的偶函数

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量子力学习题及解答

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）；

并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

dv e c

hv d kT

hv v v 1

1

833

-?

=πρ， （1）

以及 c v =λ， （2）

λρρd dv v v -=， （3）

有

,1

18)()

(5-?=?=??

? ??-=-=kT

hc v v e

hc c

d c d d dv λλλ

πλλρλλλρλρ

ρ

这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：

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hc

e kT hc e

hc

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即

； ?m T=b（常量）

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8?hv3?vdv?3?c1ehvkTdv， ?1 （1）

?v?c，

以及

（2）

?vdv???vd?， （3）

有

dvd??c?d????????v(?)d??(?)?v?c?????

?8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：

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??kT1?e?kT8?hc1? ?

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量子力学课后习题详解

第一章 量子理论基础

1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长 m与温度T成反比,即

; m T=b(常量)

并近似计算b的数值,准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

8 hv3

vdv 3

c

1e

hvkT

dv, (1) 1

以及 v c, (2)

vdv vd , (3)

有

dvd

c d

v( )

d

v( ) c

8 hc 5

1e

hckT

, 1

这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时, 取得极大值,因此,就得要求 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作 m。但要注意的是,还需要验证 对λ的二阶导数在 m处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的 m就是要求的,具体如下:

'

8 hc

6

e

1

hc kT

hc1 5 hc kT 1 1 e kT

0

5

hc

kT

11 e

hc k

? ? ? ? ? ? ? 第一章 绪论

第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射

第七章 自旋和全同粒子

?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10m?C。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8?h?31 ??d??d?， h?3c ekT?1c c及?? 、d???2d?得 ?? 8?hc1?? ?5， hc?e?kT?1

d?hc令x? ，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? kTxex 5?x e?1

hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?0C ?mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09A p2mE

# 3E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。 1.3. 氦原子的动能为 2 h0hh?10??12.63?10m?12.63A 解：? ??p2mE3mkT ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J

朱自强

第二章 流体的压力、体积、浓度关系：状态方程式

2-1 试分别用下述方法求出400℃、4.053MPa下甲烷气体的摩尔体积。（1） 理想气体方程；（2） RK方程；（3）PR方程；（4） 维里截断式（2-7）。其中B用Pitzer的普遍化关联法计算。

[解] （1） 根据理想气体状态方程，可求出甲烷气体在理想情况下的摩尔体积V

V

id

id

为

RTp

8.314 (400 273.15)

4.053 10

6

1.381 10

3

m mol

3 1

（2） 用RK方程求摩尔体积

将RK方程稍加变形，可写为

V

RTp b

a(V b)T

0.5

pV(V b)

（E1）

其中

a

0.42748RTc

pc

0.08664RTc

pc

2

2.5

b

从附表1查得甲烷的临界温度和压力分别为Tc=190.6K, pc =4.60MPa，将它们代入a, b表达式得

a

0.42748 8.314 190.6

4.60 10

62

2.5

3.2217m Pa mol K

6-20.5

b

0.08664 8.314 190.6

4.60 10

6

2.9846 10

5

m mol

3 1

以理想气体状态方程求得的V

V1

8.314 673.154.053 10

6

id

为初值，代入式（E1）中迭代求解，第一次

第一章土的物理性质

1-2

根据图1－5上四根粒径分布曲线，列表写出各土的各级粒组含量，估算②、③、

④、土的Cu及Cc并评价其级配情况。

1-8有一块体积为60cm3的原状土样，重1.05N,烘干后0.85N。已只土粒比重（相对密度）Gs=2.67。求土的天然重度γ、天然含水量w、干重度γd、饱和重度γsat、浮重度γ’、孔隙比e及饱和度Sr

1-8

解：分析：由W和V可算得γ，由Ws和V可算得γd，加上Gs，共已知3个指标，

故题目可解。

W1.05×10 3γ===17.5kN/m3

6

V60×10Ws0.85×10 33

γd===14.2kN/m

V60×10 6

γ

∵Gs=s∴γs=Gsγw=2.67×10=26.7kN/m3

γw

W1.05 0.85w=w==23.5%

Ws0.85

γ(1+w)26.7(1+0.235)e=s 1= 1=0.884

γ17.5

w Gs0.235×2.6Sr===71%

e0.884

注意：1．使用国际单位制；

2．γw为已知条件，γw=10kN/m3；3．注意求解顺序，条件具备这先做；4．注意各γ的取值范围。

1-91-10

(1-12)(1-14)

根据式（1—12）的推导

第一章 绪论

一、概念题：

1、财务会计：以传统会计为主要内容，以提供企业外部利益主体所需的经济信息为主要任务，使用的重要会计手段是复试记账、编制与审核凭证、登记账簿，编报财务会计报告等。在财务会计中，会计凭证上反映的经济业务是已经发生的会计事项，记账凭证上反映的应该是根据公认会计原则确认和计量的结果，财务会计报表反映的是账实相符的、外部利益主体关心的、以财务信息为主的经济信息，并且这些经济信息必须以规定的格式、相同口径的经济指标反映。

2、管理会计：是适应现代企业管理需要，突破传统会计而发展起来的，以财务会计资料为基本依托、相对独立的会计学科。其服务对象是企业内部各级管理人员，不需要固定的程序，既不受任何统一的会计制度等法规的约束，也不受固定的程序和会计惯例的制约。规范与控制是管理会计的两大内容。

3、确认：是指通过一定的标准，辨认应输入会计信息系统的经济数据，确定这些数据应加以记录的会计对象的要素，进而缺点已记录和加工的信息是否应全部列入财务会计报表和如何列入财务会计报表的过程。

4、计量：是指在企业会计核算中对会计对象的内在数量关系加以衡量、计算和确定，使其转化为能用货币表现的财务信息和其他有关的经济信息，以便集中和综合反映企业经营成果