高等数学定积分应用公式
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高等数学定积分应用习题答案
第六章 定积分的应用
习题 6-2 (A)
1. 求下列函数与 x 轴所围部分的面积: (1)y?x2?6x?8,[0,3] (2)y?2x?x2,[0,3]
2. 求下列各图中阴影部分的面积: 1.
图 6-1
3.求由下列各曲线围成的图形的面积: (1)y?ex,y?e?x与x?1;
(2)y?lnx与x?0,y?lna,y?lnb(b?a?0);
(3)y?2x?x2与y?x,y?0;
(4)y2?2x,y2??(x?1);
(5)y2?4(1?x)与y?2?x,y?0;
(6)y?x2与y?x,y?2x;
(7)y?2sinx,y?sin2x(0?x??);
8)y?x2(2,x2?y2?8(两部分都要计算);
1
4.求由曲线y?lnx与直线y?0,x?e?1,x?e所围成的图形的面积。
5.求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。 6.求抛物线y2?2px及其在点(p2,p)处的法线所围成的图形的面积。 7.求曲线x?y?a与两坐标轴所围成的图形的面积。
8.求椭圆x2?y2a2b2?1所围图形的面积。
9.求由摆线x?a(t?si
高等数学习题解答——定积分应用
高等数学(金路,童裕孙等编)(高等教育出版社)
p166
1.)µ{ 2= +2) : 1( 1, 1), 2(2,2), =
÷y¶© ∫È29. = 1[ ( 2 2)] =2
2.)µ Ô º: ( 2,5),= 2 4
=0? = 4 3, =3? = 10 +6
3ü : (2, 9)
¤¦¡È ∫∫32 =0[( 4 3) ( 4 3)] +3[( 10 +6) ( 2 4 3)] =9
43.)µ =∫1[2 ] +0∫22[2 ] =174.)µ
¤¦ 1 – Ü©¡È 4 "
31 – §¡È
= = 3 ( 3 )= 3 2 4 2
= , =0;
高等数学第5章定积分
第五章 定积分
习题5.1
1.填空
n(1)lim?f??i??xi
??0i?1(2)介于x轴,函数f?x?的图像及两条直线x?a,x?b之间的各部分面积的代数和。 2.利用定积分的定义计算 (1)?xdx
01解:?f?x?在区间?0,1?上连续
?将?0,1?分成n等分,不妨设分点为xi??n,?i?1,2,3,?,n?
小区间?xi,xi?1?的长度为?xi?取?i?xi,?i?1,2,3,?,n? 则由定积分定义得
nniini1n,?i?1,2,3,?,n?
?f????xi?1???i?1??xi??i?1i11??2nnnn?i?11n?n?1? i?2?n2当???时n?? ??xdx?lim01n??0??i?xi?limi?1n1n?n?1?n2n??2?12
(2)
?10niiedx?limxn???f????xi?11?limn???i?12n?11?1?1?i?1nnnf???lim?e?e???e?en??n?nn????nn1????n?ne1??e??11?????1enen??lim??1?e?lim??1?e?lim11n??n??n??n???1?nnn?1?en?1?e?????n???
?e?
高等数学第四章 定积分及其应用
《高等应用数学实训教程》
第四章 定积分及其应用
一、学习要点
了解定积分的概念、几何意义及性质.
? 了解原函数存在定理,能够利用该定理求解变上限定积分的导数.
? 熟练掌握定积分的常用方法:牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法. ? 掌握在直角坐标系下用定积分计算平面图形围成图形的面积的方法. ? 会计算绕坐标轴旋转生成的旋转体的体积,了解极坐标系中面积的求法. ? 了解无穷积分收敛的概念,能够判断和计算简单的无穷积分.
?
二、相关知识总结
1.定积分定义:定积分是一个数且与积分变量字母无关.
2.定积分的几何意义是:介于直线x?a和x?b之间,x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.
3.定积分的性质: (1)
??? b a[k1f(x)?k2g(x)]dx?k1 a? a b af(x)dx?k2? b ag(x)dx;
(2)
b af(x)dx??? bf(x)dx, ? af(x)dx?0;
(3)
b af(x)dx?? c af(x)dx? b? b cf(x)dx;
b(4)若f(x)≥g(x),则
? af(x)dx≥? ag(x)dx;
(5)积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]至
医用高等数学定积分习题精讲
习 题 五
习 题 五
1. 由定积分的几何意义计算下列定积分 (1)
2π 0 0
sinxdx;
(2
)
R π
x;
(3) 3xdx;
1(4) cosxdx.
π 0
2π
1. 解:由定积分的几何意义 (1) (2
)
2π 0 R R 0
sinxdx
sinxdx
sinxdx A ( A) 0
dx
32
R R
x
12
2 R
(3) 3xdx
1 π
(4) cosxdx
π2
cosxdx
π2
cosxdx A ( A) 0
2. 用定积分的定义,计算由曲线y x2 1与直线x 1,x 4及x轴所围成的曲边梯形的面积.
解:因为被积函数f(x) x2 1在[1,4]上是连续的,故可积,从而积分值与区间[1,4]的分割及点 i的取法无关. 为了便于计算,把区间[1,4]分成n等份,每个小区间的长度都等于
3n
,分点仍记为
1 x0 x1 x2 xn 1 xn 4
并取 i xi(i 1,2, ,n),得积分和
n
n
n
n
i 1
f( i) xi
i 1
( i 1) xi
27n
3
n
2
i 12
(xi 1) xi 18n
2
n
2
((
i 1
3in
+1) 1)
2
3n
i
i 1
i 6
i 1
19n
3
2
n(n 1)(2n 1)
181n2
2
n(n 1) 6
高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式
高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式
高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式
一,基本内容对定积分的补充规定:(1)当a= b时,∫ f ( x )dx= 0;a b
(2)当 a> b时,∫ f ( x )dx=∫ f ( x )dx .a b
b
a
说明在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.
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高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式
性质1证
∫a[ f ( x )± g ( x )]dx=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b
b
b
b
∫a[ f ( x )± g( x )]dx n= lim∑[ f (ξ i )± g (ξ i )]xiλ→0= lim∑ f (ξ i )xi± lim∑ g (ξ i )xiλ→ 0 i=1b i=1 n n
λ→ 0 i=1
=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)首页上页返回下页结束
高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式
性质2证b
∫a kf ( x )dx= k∫a f ( x )
高等数学同济版大学微积分公式
(tgx)′=secx(ctgx)′= csc2x(secx)′=secx tgx(cscx)′= cscx ctgx(ax)′=axlna(logax)′=
1xlna
2
(arcsinx)′=
1
x2
1
(arccosx)′=
x21
(arctgx)′=
1+x2
1
(arcctgx)′=
1+x2
∫tgxdx= lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C
∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫cscxdx=lncscx ctgx+C
dxx1
arctg=+C∫a2+x2aa
dxx a1
ln=∫x2 a22ax+a+C
dx1a+x
=∫a2 x22alna x+Cdxx
=+Carcsin∫a2 x2
a
π
2
n
dx2
sec=∫cos2x∫xdx=tgx+C
dx2
csc=∫sin2x∫xdx= ctgx+C
∫secx tgxdx=secx+C
∫cscx ctgxdx= cscx+C
ax
∫adx=lna+C
x
∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫
dxx2±a2
=ln(x+x2±a2)+C
π
2
In=∫sinxdx=∫cosnxdx=
n 1
In 2n
∫∫∫
x2a22
x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C
22x2a2
高等数学导数、微分、不定积分公式
一、基本导数公式:
1. kx '
k
2. x
n ' nxn 1
3. ax '
ax
lna4. ex '
e
x
5. log'
1
ax
xlna6. lnx '
1x
7. sinx '
cosx8. cosx '
sinx9. tanx ' sec2
x
10. cot '
csc2
x
11. secx '
secxtanx12. cscx '
cscxcotx13.
arcsinx '
1
14.
arccosx '
115. arctanx '
11 x2
16. arccot '
11 x2
二、基本微分公式:
1.d kx k
2.d xn nxn 1dx3.d ax axlnadx4.d ex exdx5.d lnx 1
xdx
6.d log1
ax xlna
dx
7.d sinx cosxdx8.d cosx sinxdx9.d tanx sec2
xdx
10.d cotx csc2xdx11.d secx secxtanxdx12.d cscx cscxcotxdx13.d
arcsinx
1
dx
14.d arccosx 1
dx
15.d arctanx 1
1 x
2
dx16.d arccotx 1
1 x
2
dx- 1 -
高等数学第五章定积分试题
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 62
第五章 定 积 分
§5—1 定积分概念
一、填空题
1. f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。
2. limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。
??nn3. 由定积分的几何意义知4. 定积分
???sinxdx= ,?sinxdx= 。
???a?aa2?x2dx的几何意义是 。
二.判断题。
1.若f(x)在[ a,b]上有界,则f(x)在[a,b]上可积。 ( ) 2.若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[ a,b]上有界。 ( ) 3.若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积,则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 ( ) 5. 若f(x)在[a,b]上可积,则g(x) )在[a,b
高等数学第五章定积分试题
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 62
第五章 定 积 分
§5—1 定积分概念
一、填空题
1. f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。
2. limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。
??nn3. 由定积分的几何意义知4. 定积分
???sinxdx= ,?sinxdx= 。
???a?aa2?x2dx的几何意义是 。
二.判断题。
1.若f(x)在[ a,b]上有界,则f(x)在[a,b]上可积。 ( ) 2.若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[ a,b]上有界。 ( ) 3.若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积,则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 ( ) 5. 若f(x)在[a,b]上可积,则g(x) )在[a,b