多元函数极值与最值问题

多元函数的极值与最值的求法

摘要

在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.

求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.

对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.

关键词:多元函数，极值，最值，方法

、

Methods for Calculating Extremum and the most Value of Multivariable

Fun

大学数学专业毕业论文,系统介绍多元函数的极值与最值的多种求法!

多元函数的极值与最值的求法

摘要

在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.

求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决. 求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.

对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.

关键词:多元函数，极值，最值，方法

、

大学数学专业毕业论文,系统介绍多元函数的极值与最值的多种求法!

Methods for Calculatin

高三数学第一轮总复习 第三章第三节

知识要点

双基巩固

典型例题

易错辨析

提升训练

第三节

导数与函数的极值、最值

高三数学第一轮总复习 第三章第三节

知识要点

双基巩固

典型例题

易错辨析

提升训练

一、函数的极值1.定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，

都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0);如果对x0附近所有的点，都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是函数 2.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤：(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根x0;(3)检查f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右

f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值和极小值统称为极值.

的符号；“左正右负” f(x)在x0处取极大值；“左负右正” f(x)在x0处取极小值(注：导数为零的点未必是极值点).

高三数学第一轮总复习 第三章第三节

知识要点

双基巩固

典型例题

易错辨析

提升训练

3.特别提醒：(1)x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，

而不仅是f′(x0)=0,f′(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′

函数的极值与最值练习题

一、选择题

1.下列说法正确的是

A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值

B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值

C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值

D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=0

2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是

①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x

A.①② B.②③ C.③④ D.①③

3.函数y=6x的极大值为 21 x

A.3 B.4 C.2 D.5

4.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为

A.0 B.1 C.2 D.4

5.y=ln2x+2lnx+2的极小值为

－ A.e1 B.0 C.－1 D.1

6.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于

A.6 B.0 C.5 D.1

二、填空题

7.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.

8.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值.

9.若函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1时有

函数的极值和最值

考纲要求】

1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.

3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值

4.会求给定闭区间上函数的最值。

知识网络】

【考点梳理】

要点一、函数的极值

函数的极值的定义

一般地，设函数f (x) 在点x= x0及其附近有定义，

(1)若对于x0附近的所有点，都有f(x )f(x0)，则f(x0)是函数f (x)的一个极大值，记作y极大值= f (x0) ；

(2 )若对x0附近的所有点，都有f (x ) f(x0)，则f(x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值= f (x0).

极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

要点诠释：

求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数f (x) ；

③求方程f (x)=0的根；

④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

要点二、函数的最值

1.函数的最大值与最小值定理

若函数y= f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值；在开区间(a,b

导数与函数极值和最值

1.函数的单调性与导数

2.函数的极值 (1)函数的极值的概念：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小， f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 f′(x)>0 ___________,右侧__________,则点a 极小值点 叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做 极小值 函数y=f(x)的________.

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 在点x=b附近其他点的函数值都大，

f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 _________,右侧_________,则点b叫极大值点 做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做 函数y=f(x)的________.极小值点、极 极大值 极值点 大值点统称为________,极大值和极小 极值 值统称为_______.

(2)求函数极值的步骤： ①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根； ③检查方程根左右两侧值的符号，如果

左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值 _______,如果左负右正，那么f(x)在这

个根处取___

实验六 多元函数的极值

【实验目的】

1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法.

4． 学习掌握MATLAB软件有关的命令。

【实验内容】

求函数z?x?8xy?2y?3的极值点和极值

42【实验准备】

1．计算多元函数的自由极值

对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:

步骤1.定义多元函数z?f(x,y)

步骤2.求解正规方程fx(x,y)?0,fy(x,y)?0,得到驻点

?2z?2z?2z步骤3.对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数A?,B?,C?2, 2?x?y?x?y步骤4. 对于每一个驻点(x0,y0),计算判别式AC?B,如果AC?B?0,则该驻点是极值点,当A?0为极小值, A?0为极大值;,如果AC?B?0,判别法失效,需进一步判断; 如果AC?B?0,则该驻点不是极值点.

2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值

设函数z?f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为：

步骤1. 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；

步骤2. 计算f(x,

中央民族大学学士论文

Bachelor Thesis of Minzu University of China

多元函数极值问题探究

An Extremum Exploration of Multivariate Function

姓名:李开

学号:0932098年级:09级 院系:理学院

专业:信息与计算科学 指导老师:李成岳 日期:2013/4/24

摘要

本文首先介绍了二元函数极值的定义，并运用二元函数的泰勒公式和连续性定理证明了二元函数取极值的必要条件和充分条件，着重讨论了临界条件下判别式等于零的情况，并给出了进一步讨论的方法，之后利用曲面理论引进了二元函数极值问题的几何意义并结合坐标平移法给出了求一些无稳定点的二元函数的极值的方法。本文接着将二元函数推广至多元函数，又结合高等代数中二次型理论及微分几何中曲面第二基本形式理论给出了多元函数极值的定义，必要条件，充分条件和几何意义并予以了证明。本文还介绍了多元函数条件极值的定义，必要条件和充分条件，并引入了拉格朗日乘数法这一求条件极值的有力工具。本文最后给出了多元函数极值理论的一些应用，如最小二乘法，空间距离和不等式的证明以及在实际运用多元函数极值理论求解时的一些注意事项和技巧策

高三数学第一轮复习 学案 8月 日

第十一讲 导数在函数的单调性、极值、最值中的应用 姓名_________

一、知识梳理： 1．单调性与导数

1）① 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数； 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数。 ② f(x)在区间?a,b?上是增函数?f?(x) 0在

?a,b?上恒成立；

f(x)在区间?a,b?上为减函数?f?(x) 0在?a,b?上恒成立。

2）求函数f(x)的单调区间的步骤：

① ；② ；③ ．④ ． 2．极值与导数

1） 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值; 2)如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值； 3)如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 。

注意: ①极值是一个局部概念,不同与最值; ②函数的极值不是唯一的; ③极大值与极小值

多元函数的极值及应用

摘要：本文引入了普通极值与条件极值的概念，讨论了普通极值与条件极值的联系和区别.引入了一元函数，二元函数和多元函数的极值与最值，用拉格朗日乘数法求条件极值，求解了一些较简单的最大值和最小值的应用问题.把一元函数的极值问题推广到多元函数的情形，得到了一些新的结果，并给出了一些未推广前不能求解，而利用推广后的结论可以求解的例子.给出了三元函数极值的快速判别方法，并且讨论它在实际问题中的应用.在多元函数极值理论的基础上，讨论了多元函数求解极值的理论方法，并通过典型例题阐明多元函数极值在实践中的应用.

关键词：极值；条件极值； Hessian矩阵；Lagrange乘数法

I

Extreme value of pluralistic function and values application

Abstract: This paper introduces the general extremum and conditional extreme value concept, discussed the common extremum and conditional extreme value relation and diffe