利用改进的欧拉公式和龙格—库塔方法求微分方程

Matlab 实现四阶龙格-库塔发求解微分方程

从理论上讲，只要函数在某区间上充分光滑，那么它可以展开为泰勒级数，因此在该区间上的函数值可用各阶导数值近似地表示出来，反之其各阶导数值也可用某些函数值的线性组合近似地表示出来。龙格-库塔法就是将待求函数y(t)展开为泰勒级数，并用方程函数f(t,y)近似其各阶导数，从而迭代得到y(t)的数值解。具体来说，四阶龙格-库塔迭代公式为

1yn?1?yn?h(k1?2k2?2k3?k4)

6k1?f(tn,yn)

k2?f(tn?h/2,yn?hk1/2) k3?f(tn?h/2,yn?hk2/2) k3?f(tn?h,yn?hk3)

实验内容：

?1?x2，x?2??0.4x1?0.2x2?0.5u，x1(0)?x2(0)?0，u为单位阶已知二阶系统x跃信号。用四阶龙格-库塔法求数值解。分析步长对结果的影响。 实验总结：

实验报告要求简要的说明实验原理；简明扼要地总结实验内容；编制m文件，并给出运行结果。报告格式请按实验报告模板编写。

进入matlab，

Step1：choose way1 or way2

way1）：

可以选择直接加载M文件（函数M文件）。

way2

解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法简单实例比较

欧拉方法（Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。 缺点：

欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。

改进欧拉格式（向前欧拉公式）：

为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。 算法：

微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程：

dy?f(x,y) x?[a,b] dxy(a)?y0

可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)?f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：

(y(xi?1)?y(xi))?f(xi,y(xi))

h在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi的数值计算出yi?1来：

yi?1?yi?h?f(xi,yi)i?0,1,2,?L

这就是向前欧拉公式。

改进的欧拉公式：

将向前欧拉公式中的导数f(xi,yi)改为微元两端导数的平均，

解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法简单实例比较

欧拉方法（Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。 缺点：

欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。

改进欧拉格式（向前欧拉公式）：

为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。 算法：

微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程：

dy?f(x,y) x?[a,b] dxy(a)?y0

可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)?f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：

(y(xi?1)?y(xi))?f(xi,y(xi))

h在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi的数值计算出yi?1来：

yi?1?yi?h?f(xi,yi)i?0,1,2,?L

这就是向前欧拉公式。

改进的欧拉公式：

将向前欧拉公式中的导数f(xi,yi)改为微元两端导数的平均，

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

用拉氏变换法解线性微分方程

一 基本定义

若函数f(t)，t为实变量，线积分

∫ f(t)e-st dt (s为复变量)存在，

0∞

则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或￡[f(t)]，即F(s)=￡[f(t)]=∫ f(t)e-st dt

0

∞

常称：F(s)→f(t)的象函数；

f(t) →F(s)的原函数。 二 基本思路

用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算

三 典型函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数

f(t)=1(t)= 1 t≧0 0 t <0

F(s)=￡[f(t)]= ∫ f(t)e-st dt =∫ 1 e-st dt =1/s

0∞

∞ 0

微分方程 拉氏变换 象函数 解代数方程 象原函数 （微分方程解） 拉氏反变换 象函数 代数方程 f(t) 1 0

t

2、单位斜坡函数 f(t)= t 1(t) = t t≥0

0 t<0

-st 2

F(s)=￡[f(t)]= ∫0 t edt =1/s

∞

f(t) t

3、等加速度函数

f(t) = 1/2 t2

常微分方程中常用的解题方法

1、变量分离法，一阶常微分方程求解有两个重要的方法：一是变量分离方法，

二是全微分方程及积分因子的方法。其中前者是通过适当的变形及变换，将自变量、自变量的微分和因变量的微分分别置于方程的两端，然后分别进行积分即可得方程的通解后者则是寻求适当的积分因子，将方程化为通解的恰当方程，进一

d步得通解。如求方程

的通解。 ddyy=0是解，若y?0，分离变量，得所以原方程通解

(c?R) ?，两端分别积分，得ln|y|=x^2+c。y2、积分因子的方法 ，形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 的一阶微分方程，因为其

dy中X和Y的地位对等性，所以较之于一阶微分方程的常见形式

?dx ??更具有一般性。若该方程中有

? 则存在u(x,y)，使得 ?du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy，此时，该方程称为恰当微分方程，其通解为u(x,y) =c。

当然大部分的方程并不是恰当微分方程，但是我们可以寻求与其通解的恰当微分方程，即可以寻求积分因子?(x,y) ，使得通解方程?M(x,y)dx+?N(x,y)dy=0为恰当方程。积分因子的方法为求解一般的一阶微分方程提供了一种全新的思路。例

?m?y??如求解ydx+(y-x)d

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以

第8章 常微分方程数值解法

本章主要内容：

1．欧拉法、改进欧拉法. 2．龙格-库塔法。

3．单步法的收敛性与稳定性。

重点、难点

一、微分方程的数值解法

在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。本章我们主要

?dy?dx?f(x,y)讨论常微分方程初值问题?的数值解法。

?y(x)?y0?0 数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内，取n+1个节点a=x0＜x1＜…＜xN=b （其中差hn= xn –xn-1称为步长，一般取h为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。

二、欧拉法与改进欧拉法

欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。

n?1 将常微分方程y??f(x,y)变为y(xn?1)?y(xn)??f(t,y(t))dtxnx??

第十二章 微分方程

一、内容提要

（一）主要定义

【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.

【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.

一般形式为： Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为：y?n??(n)??0.

??fx,y,y?,?,y?n?1?.

?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,

或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.

根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.

【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.

例

【例1

第1篇：欧拉函数公式及其证明

欧拉函数 ：

欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。

完全余数集合：

定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：

对于素数 p ，φ(p) = p -1 。

对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。

这是因为 Zn = {1, 2, 3, ..., n{p, 2p, ..., (q{q, 2q, ..., (p1)1)1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理 ：

对于互质的正整数 a 和 n ，有 a

φ(n)

≡ 1 mod n

。

证明：

( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n, ..., a * xφ(n) mod n} ，

则 Zn = S 。

① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a