椭圆周长公式推导

椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用

-----------三探椭圆周长的计算（终结篇）

四川省美姑县中学 周钰承

★ 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。

★ 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式，

本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希

望广大读者喜欢。

★ 目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价

一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算

宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。

在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：

xa22?yb22?1，a?0,b?0.

参数方程是： x?acos?,y?bsin?,?0???2?? 函数图像为：

若某条光滑曲线，能用参数方程表示：

x?X?t?，y?Y?t?

??t??，该曲线长度可表示为：

L?22????????X't?Y'tdt

年第刀‘刀

期

数学通报

梅,

,

刀‘刀

办,

,

‘

文

中」的推广是不同的那里相应于三维空间,,

办由此可以验证卫‘

式成立

但

‘

式不成‘

的情形是分别在四面体四个面或其延展面上的四个点共面的条件参考资料刘毅

此例表明本文推广定理的结论不能取的形式即梅耐劳斯定理和塞瓦定理的空间推广,

,

三维空间中塞瓦定理

数学通报

,

定理的结论形式是不尽相同的最后我们指出,

张晗方

定理的高维推广数学通报

,

梅耐劳斯定理的本文推广与

椭圆周长近似公式周祖遣首都师大数学系

设椭圆的长半轴为的理论知,

,

短半轴为

,

由定积分

由椭圆的两个半轴的各种平均值,

和

,

使我们想到它们

椭圆的周长一‘

为

如

关

万

‘丫一“

‘‘‘一“

,

‘

,

,

其中函数表示,

止二二,

训了灭丁丽二是椭圆的离心率

,

‘

,

,

、

、

、

这是第二

一

丽了

可嚓正好与半径为、饭石的圆面,

类椭圆积分

它的被积函数的原函数不能用初等

积分值必须利用近似积分法或展开成,

等等椭圆的面积

无穷级数来求出

也可以由查椭圆积分表得到、

利用级数公式二二、

积相等因而我们有理由相信以不等式中各数。为半径的圆周长丽句及币淤耳甲了武

骊的

都可作为椭圆周长的近似值

为了将这些值与公

一

恤

干二一

几

艺一一一一一蔽一一一一一一

…

丁’

一几‘

山

式

作精确比较

,

下面我们分别将它们按

正整次幂展成幂级数石训了二飞百了

一,

椭圆的焦点弦长公式

F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、

2ab2222短半轴长和焦半距，则有F1F2?a?ccos?。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB?8，焦距F1F2?42，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设?PF1X??(0????)，当?取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a?4，c?22，从而b?22，故由焦

2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得：

2?4?(22)16?8cos?22?42，解得

cos???2?2，即??arccos2?2或??arccos2?2。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，

16?直线l通过点F，且倾斜角为，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的

35方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为

(x?c?3)a22?(y?1)b22?1，又椭圆E相应于F的

椭圆的焦点弦长公式

F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、

2ab2222短半轴长和焦半距，则有F1F2?a?ccos?。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB?8，焦距F1F2?42，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点，设?PF1X??(0????)，当?取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a?4，c?22，从而b?22，故由焦

2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得：

2?4?(22)16?8cos?22?42，解得

cos???2?2，即??arccos2?2或??arccos2?2。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，

16?直线l通过点F，且倾斜角为，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的

35方程。

分析：由题意可设椭圆E的方程为

(x?c?3)a22?(y?1)b22?1，又椭圆E相应于F的

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

椭圆的简单几何性质(三)直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

椭圆的简单几何性质(三)前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种？

怎么判断它们之间的位置关系？ d=r 几何法： d>r 代数法： <0 =0

d<r

>0

直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)

直线与椭圆的位置关系的判定问题2:椭圆与直线的位置关系？

Ax+By+C=0 代数法 2 2 由方程组： x y 2 1 ----求解直线与二次曲线有 2 a b 2 mx +nx+p=0(m≠ 0) 关问题的通法。

= n2-4mp>0 =0 <0方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交

区一小的施工路段在施工过程中，要制造 如图所示的弯形管道，必须先按中心线计算 “展直长度”,再根据比例尺下料，你能计 算图中所示管道的展直长度吗？

(1)半径为R的圆,周长是多少？

C=2πR

.

R

(2)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧 360°

1°圆心角所对弧长是多少？

1 R 2 R 360 180R 1°

90°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长 的多少倍？ 90 倍90°

R R 1°

90°圆心角所对弧长是多少？

90

R180

R2

n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长 的多少倍？ n 倍

R

1°

R

n°

n°圆心角所对弧长是多少？

n R 180

若设⊙O半径为R, n°的圆心 角所对的弧长为l,则n R l 180

如图,圆心角为60°的扇形的半径为10cm, 求这个扇形的周长. 分析: 周长C OA OB l AB

B

解：周长 C OA OB l AB

10 10 3 20 3

O

A

制造弯形管道时，要先按中心线计算“展

马歇尔-勒纳条件：假定、推导和说明1

马歇尔-勒纳条件研究一定前提条件下

本币对外贬值改善贸易收支的必要条件

1)假定：

局部均衡：进出口值由进出口商品的相对价格和进出口量决定，其他影响进

出口的因素，如消费者的收入、其他商品的价格、消费者的偏好等都不变； 贸易商品的供给弹性无穷大，进出口的价格不因需求的增加而上涨，也不因

需求的减少而下降（贬值国是小国）；

不考虑资本流动，即国际收支等于贸易收支；

初始条件假定：假定贬值前贸易差额不大，进出口在贬值前基本平衡;

设出口商品的汇率弹性为 X，进口商品的汇率弹性为 M，即：

（1）

其中：

Δ:变化量，

X和M:分别表示出口数量和进口数量，

r:直接标价的汇率（一单位外币可兑换的本币数量）。本币对外贬值时，

r增加。

2)推导过程：

由于一国通常采用本币来记录国际收支，因此，我们讨论用本币表示国际收支的情况。

在没有国际资本流动的假定下，国际收支B等于贸易收支：

B PX rPM （2）

其中Px为出口商品以本币表示的价格，PM为进口商品以外币表示的价格，并假定这些价格不变。

如果本币贬值，即r增加时，dB>0，则本币贬值能起到改善贸易收支的作用。 对（2）式求导，得： 1本推导过程和说明的主要来源

马歇尔-勒纳条件：假定、推导和说明1

马歇尔-勒纳条件研究一定前提条件下

本币对外贬值改善贸易收支的必要条件

1)假定：

局部均衡：进出口值由进出口商品的相对价格和进出口量决定，其他影响进

出口的因素，如消费者的收入、其他商品的价格、消费者的偏好等都不变； 贸易商品的供给弹性无穷大，进出口的价格不因需求的增加而上涨，也不因

需求的减少而下降（贬值国是小国）；

不考虑资本流动，即国际收支等于贸易收支；

初始条件假定：假定贬值前贸易差额不大，进出口在贬值前基本平衡;

设出口商品的汇率弹性为 X，进口商品的汇率弹性为 M，即：

（1）

其中：

Δ:变化量，

X和M:分别表示出口数量和进口数量，

r:直接标价的汇率（一单位外币可兑换的本币数量）。本币对外贬值时，

r增加。

2)推导过程：

由于一国通常采用本币来记录国际收支，因此，我们讨论用本币表示国际收支的情况。

在没有国际资本流动的假定下，国际收支B等于贸易收支：

B PX rPM （2）

其中Px为出口商品以本币表示的价格，PM为进口商品以外币表示的价格，并假定这些价格不变。

如果本币贬值，即r增加时，dB>0，则本币贬值能起到改善贸易收支的作用。 对（2）式求导，得： 1本推导过程和说明的主要来源

推导

第十课时

教学目标：

知识与能力：使学生理解求圆锥体积的计算公式．

过程与方法：会运用公式计算圆锥的体积．

情感态度和价值观：：培养学生初步的空间观念和思维能力；让学生认识“转化”的思考方法。

教学重点

圆锥体体积计算公式的推导过程．

教学难点

正确理解圆锥体积计算公式．

教学过程：

一、铺垫孕伏

1、提问：

（1）圆柱的体积公式是什么？

（2）投影出示圆锥体的图形，学生指图说出圆锥的底面、侧面和高．

2、导入：同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题．（板书：圆锥的体积）

二、探究新知

（一）指导探究圆锥体积的计算公式．

1、教师谈话：

下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法．老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器，两个圆柱体容器和一些沙土．实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒人圆锥体（或圆柱体）容器里．倒的时候要注意，把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想一想，通过实验你发现了什么？

2、学生分组实验

学生汇报实验结果

①圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满．

推导

②圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，

推导

第十课时

教学目标：

知识与能力：使学生理解求圆锥体积的计算公式．

过程与方法：会运用公式计算圆锥的体积．

情感态度和价值观：：培养学生初步的空间观念和思维能力；让学生认识“转化”的思考方法。

教学重点

圆锥体体积计算公式的推导过程．

教学难点

正确理解圆锥体积计算公式．

教学过程：

一、铺垫孕伏

1、提问：

（1）圆柱的体积公式是什么？

（2）投影出示圆锥体的图形，学生指图说出圆锥的底面、侧面和高．

2、导入：同学们，前面我们已经认识了圆锥，掌握了它的特征，那么圆锥的体积怎样计算呢？这节课我们就来研究这个问题．（板书：圆锥的体积）

二、探究新知

（一）指导探究圆锥体积的计算公式．

1、教师谈话：

下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法．老师给每组同学都准备了两个圆锥体容器，两个圆柱体容器和一些沙土．实验时，先往圆柱体（或圆锥体）容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒人圆锥体（或圆柱体）容器里．倒的时候要注意，把两个容器比一比、量一量，看它们之间有什么关系，并想一想，通过实验你发现了什么？

2、学生分组实验

学生汇报实验结果

①圆柱和圆锥的底面积相等，高不相等，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了一次，又倒了一些，才装满．

推导

②圆柱和圆锥的底面积不相等，高相等，