离散型随机变量的均值的性质

2.3.1 离散型随机变量的均值

自 主 学 习

课 标 导 学

通过实例，理解离散型随机变量的均值、方差的概念， 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实 际问题.

教 材 导 读1.一般地，若离散型随机变量 X 的分布列是

X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn

EX=x1p1+x2p2+ +xipi+ +xnpn 则称①________________________________为随机变量 X 的均值或数学期望.

2.离散型随机变量的均值反映了 随机变量取值的平均水平 ②______________________________. 3 若 X、Y 是离散型随机变量，且 Y=aX+b,则有 EY= aEX+b ③________________.EX=p 4.若随机变量 X 服从两点分布，则④__________.

思考探究 1 若 c 为常数，则 E(c)为何值？ 提示：E(c)=c 思考探究 2 若 X、Y 均为离散型随机变量，则 E(X+Y)与 EX 和 EY 间有什么关系？ 提示：E(X+Y)=EX+EY.

基 础 自 测1.随机变量 X 的分布列为

X 0 2 4 P 0.4 0.3 0.3则 E(

第7讲 离散型随机变量的均值与方差

【2014年高考会这样考】 1.考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.

抓住1个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X P (1)均值 x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 称E(X)=_____________________________为随机变量X的均 x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn

数学期望 平均水平 值或_________,它反映了离散型随机变量取值的________.抓住1个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

(2)方差

xi-E X 2pi i= 1 称D(X)= ______________为随机变量X的方差，它刻画了

n

平均偏离程度 算术平方根 随机变量X与其均值E(X)的_____________,其__________ D X ________为随机变量X的标准差.

【助学· 微博】两个防范 在记忆D(aX+b)=a2D(X)时要注意：(1)D(aX+b)≠aD(X)

+b,(2)D(aX+b)≠aD(X).三

2012届安吉高级中学高三数学（理）计数原理与概率统计复习导学案（主备人：鲍利人 ）

10．8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

班级 姓名

一、学习目标：

1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 二、学习建议：

1．把握基本题型； 2．强化方法选择．

三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题） 1．某学习小组的一次数学考试成绩为： 分 数 频 数 频 率 分数×频率 95 2 96 4 97 3 98 1 填写表格的三、四两行，并求出①该学习小组这次考试的平均分；②表格的第四行的4个数据之和。 根据你的结果，解析你的发现。

知识链接1．

1．离散型随机变量的均值与方差的概念

若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)期望：称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离

教 案

课程名称 概率统计 授课教师 职 称 系（部）

教 研 室

2013 —2014 学年 第 二 学期

授课对象： 本、专科 2012 （年）级 专业 1 班

本、专科 （年） 级 专业 班 本、专科 （年） 级 专业 班

教案书写与使用要求

1、教师在授课前两周完成教案书写，并由教研室主任亲自审批（教研室主任的教案由系部教学主任代签），教师必须携带教案上课。每次教案只可使用一轮课；在授课对象的专业、层次相同，使用同版次教材且授课内容及学时数完全一致的情况下，可使用同一本教案，否则不允许通用。

2、封面填写：不能空项，各项要写全称；授课对象：选择本科或专科

第二章随机变量及其分布

在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量.由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量.与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性.本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.

§2.1随机变量

一、随机变量概念的引入

为全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.

1.在有些随机试验中,试验的结果本身就由数量来表示. 例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示

2.在另一些随机试验中,试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示.

例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的，可规定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”

二、随机变量的定义

1定义设随机试验的样本空间为?,对每个???,都有一个实数X(?)与之对应,则称X(?)为随机变量.简记为X.

随机变量通常用英文大写字母X,Y,Z或希腊字母?,?等表示。 随机变量的取值一般用小写字母x,y,z等表示。 2随机变量的特征 1)它是一个变

【巩固练习】

一、选择题

1．下面说法中正确的是( )

A．离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平 C．离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平 D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值

2．（2015春 天津期末）已知X～B（n，p），E（X）=8，D（X）=1.6，则n，p的值为（ ）

A．100和0.8 B．20和0.4 C．10和0.8 D．10和0.2 3．随机变量ξ的分布列为

ξ 0 2 4 P ，则E(5ξ＋4)等于( ) A．13 C．2.2

B．11 D．2.3

0.4 0.3 0.3 4．随机变量ξ服从二项分布B（100，0.2），那么D（4ξ+3）的值为（ ）． A．64 B．256 C．259 D．320

5. （2016 云南二模）现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回

地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（ ）

A．6 B．

3941 C． D．9 556．从学校乘

离散型随机变量的均值与方差

一、考点、热点回顾

【学习目标】

1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；

2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】

要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：

一般地，若离散型随机变量?的概率分布为

? P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … 则称E??x1p1?x2p2?…?xnpn?… 为?的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释：

（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量?的概率分布中，令p1?p2?…?pn，则有

p1?p2?…?pn?11，E??(x1?x2?…?xn)?，所以?的数学期望又称为平均数、均值。 nn（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质：

①E(???)?E??E?；

②若??a??b(a、b是常数)，?是随机变量，则?也是随机变量，有E(a??b)?aE??b；

E(a??b)?aE??b的

【巩固练习】

一、选择题

1．下面说法中正确的是( )

A．离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平 C．离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平 D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值

2．（2015春 天津期末）已知X～B（n，p），E（X）=8，D（X）=1.6，则n，p的值为（ ）

A．100和0.8 B．20和0.4 C．10和0.8 D．10和0.2 3．随机变量ξ的分布列为

ξ 0 2 4 P ，则E(5ξ＋4)等于( ) A．13 C．2.2

B．11 D．2.3

0.4 0.3 0.3 4．随机变量ξ服从二项分布B（100，0.2），那么D（4ξ+3）的值为（ ）． A．64 B．256 C．259 D．320

5. （2016 云南二模）现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回

地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（ ）

A．6 B．

3941 C． D．9 556．从学校乘

共21页

11．2 离散型随机变量的期望与方差

高考试题

1．（2005年江苏）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，

9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（D）

A．9.4,0.484 B．9.4,0.016 C．9.5,0.04 D．9.5,0.016 提示：本题考查了统计数据中平均数、方差有关概念、公式及有关计算等：

7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：9.4，9.4，9.6，9.4， 9.5，则平均数为：x?s29.4?9.4?9.6?9.4?9.5522?9.46?9.5，即x?9.5，方差为：

2?15[(9.4?9.5)?(9.4?9.5)?????(9.5?9.5)]?0.016，即 s2?0.016，故

选D.

2．（2005年全国卷三）设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取?22,?3，

5252?,0,,3,22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望

Eξ= .

[答案]

47

13提示：原点到过点（0，1）且斜率为?22、2

第16章 第3讲 离散型随机变量的均值与方差

一、选择题

1．已知ξ的分布列为

ξ P 则Eξ，Dξ分别等于( )

A．0,0 B．0.2,0.7 C．－1，－0.3 D．－0.3,0.61 2．已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝2)＝0.7.则EX和DX的值分别为( )

A．0.6和0.7 B．1.7和0.3 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 3．设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为X，则下列结论正确的是( )

A．EX＝0.1

C．P(X＝k)＝0.01k·0.9910

－k

－1 0.5 0 0.3 1 0.2 B．DX＝0.1

D．P(X＝k)＝C10k0.99k×0.0110k

－

4．设随机变量X～B(n，P)，且EX＝1.6，DX＝1.28，则( )

A．n＝8，P＝0.2 B．n＝4，P＝0.4 C．n＝5，P＝0.32 D．n＝7，P＝0.45 5．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲机床生产1000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ、η