声波方程和弹性波方程

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"学术论文"

用于弹性波方程模拟的基于逐元技术的谱元法"

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林伟军"!王秀明"!!张海澜"

":中国科学院声学研究所!北京"##*#*$:(DSQUO;2AC1;9.!)QQ(!OULC5""!#!

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摘要!!由于结合了谱方法和有限元法的优势!谱元法为弹性波方程的数值模拟提供了一种新的有效工具:文中从弹性动力学方程的弱形式出发!详细阐述了使用M;;3<A;正交多项式展开的谱元法4基本理论及相应数学公式:单元内的弹性波场用高阶M/A/3;插值近似!而每个单元上的数值积分44采用P/9??’MCX/22C’M;;3<A;积分方法:如此可得到对角形式的全局质量阵!简化了运算:逐元技术4被用于M;;3<A;谱元程序中!极大地减少了内存和计算需求:最后!四个数值算例被用于验证这种4谱元法的高精度和强适应性:同时证明这种新的谱元法很适合用于那些具有复杂结构!包括起伏自由表面的非均匀介质中的弹性波模拟:

关键词!!谱元!699;<(9多项式!弹

如何理解分式方程和分式方程的根

学习分式方程和求解分式方程的根时，容易产生一些模糊的认识，要真正弄懂学好，应注意以下几点：

1. 分式方程是分母含未知数的有理方程。这告诉我们：

x2?1与x?1是不同的两个方程，①分式方程是形式上的定义。如方程前者x为分式方程，后者为整式方程。

②分式方程强调分母是含未知数而不是含有字母，这与分式定义中分母规定不一定。如关于x的方程

1x?m?2?，它不是分式方程，而是整式方程。 m2③分式方程是有理方程。如方程

x?1不是分式方程。 x2. 解分式方程时，去分母的方法不一定要乘最简公分母，但乘以最简公分母意义在于它不仅能使去分母具有可行性，同时演算简洁，有时还可减少增根个数。

如：解方程

x2?2?1，若方程两边乘以(x?1)(x2?2x?1)，解得x?1x?2x?1x??1，而x??1为增根；若方程两边乘以x2?2x?1，解得x?1为原方程的根。

3. 分式方程与它变形之后的整式方程的关系表现在：

一方面，分式方程的根是从整式方程中求出来的，它一定是整式方程的根。但整式方程的根不一定是分式方程的根，若是它的根的条件是要使分母不为零。

另一方面，分式方程的要求解要依靠整式方程，只不过其中排除分母不为零这一因素。如

非线性方程和常微分方程的解法

实验8 非线性方程和常微分方程的解法

一、实验目的

学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求

1. 非线性方程的整值解

（1）最小二乘法

格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);

>>xl=fsolve(fc,0)

xl=

0.5671

问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？

先用命令fplot（’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：

>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);

>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)

得出结果：

ans=

0.5918 3.1407 6.2832 9.4248

【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co

非线性方程和常微分方程的解法

实验8 非线性方程和常微分方程的解法

一、实验目的

学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求

1. 非线性方程的整值解

（1）最小二乘法

格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);

>>xl=fsolve(fc,0)

xl=

0.5671

问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？

先用命令fplot（’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：

>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);

>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)

得出结果：

ans=

0.5918 3.1407 6.2832 9.4248

【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co

曲线和方程

1 ．圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为

22222222（ ）

A．x?(y?2)?1B．x?(y?2)?1C．(x?1)?(y?3)?1 D．x?(y?3)?1 2 ．在平面直角坐标系中,到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是 （ ）

A．x?y?0 B．x + y=0 C．|x|=|y| D．y=|x|

3 ．动点P到定点F1（ 1 , 0 ）的距离比它到定点F2（3，0）的距离小2，则点P的轨迹是 （ ）

A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线 4 ．已知曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)?0的解，则下列命题正确的是 （ ）

A．满足方程f(x,y)?0的点都在曲线C上 B．方程f(x,y)?0是曲线C的方程 C．不在曲线C上的点的坐标一定不是方程f(x,y)?0的解

D．方程f(x,y)?0的曲线包含曲线C上的任意一点

5 ．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，－1），B（－1，3），若点C满足OC??OA??OB其中0≤?，?≤1，且????1，则点C的轨迹方程为 （ ）

A．2x?3y?4?0

C．4x?3y?5?0（－1≤x≤2）

221

方程的意义和列方程解应用题

１、用字母表示运算定律和有关图形的面积公式。

加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 减法的特性：a-b-c=a-(b+c)

乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)

乘法分配律：a×(b+c)=a×b×a×c 正方形周长：c=4a 正方形面积：s=a×a 长方形的周长：C＝（a+b）×2 长方形面积：s=a×b 此外，还可以拓展到以前曾经学过的 路程＝速度×时间 总价＝单价×数量??

2、字母表示数的时候，字母与数字相乘，字母与字母相乘，中间的乘号可以用小圆点代替或者省略。例如：a×5＝5·a＝5a 数字一般都写在字母的前面。

3、区别a的平方和2乘a的区别。 方程（方程的意义） 了解方程的意义：含有未知数的等式叫做方程。 1、掌握方程与等式的关系：方程是等式但等式不一定是方程．或者说方程属于等式，等式包含方程．并能用图形表示．

2、根据情境图找出等量关系，会列方程。 天平游戏一（解简易方程未知数是加数或被减数） 1、等式两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立。 3、能根据等式的这个性质求出方程中的未知数。

4、

极坐标和参数方程训练二

一、选择题

1．直线l的参数方程为??x?a?t(t为参数)，则点Pl上的点P1对应的参数是t1，1与P(a,b)?y?b?t之间的距离是（ ）

A．t1 B．2t1 C．2t21 D．2t1 ?2．参数方程为??x?t?1t(t为参数)表示的曲线是（ ）

??y?2A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线

??3．直线?x?1?1?2t3(t为参数)和圆x2?y2?16交于A,B两点， ???y??33?2t则AB的中点坐标为（ ）

A．(3,?3) B．(?3,3) C．(3,?3) D．(3,?3) 4．圆??5cos??53sin?的圆心坐标是（ ）

A．(?5,?4?3) B．(?5,??5?3) C．(5,3) D．(?5,3) 5．与参数方程为???x?t(t为参数)等价的普通方程为（ ）

??y?21?tA．x2?y24?1 B．x?y224?1(0?x?1) C．x2?y2y24?1(0?y?2) D．x2?4?1(0?x?1,0?y?2) 6．直线??x??2?t?y?

指数、对数方程练习与解析

【知识点】

1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。

2．解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。 3.指数方程的基本类型： （1）a（2）a（3）ax?c(a?0,a?0,c?0),其解为x?logac；

?ag(x)(a?0,a?1)，转化为代数方程f(x)?g(x)求解；

?bg(x)(a?0,a?1,b?0,b?1)，转化为代数方程f(x)lga?g(x)lgb求解； )?0(a?0,a?0)，用换元法先求方程F(y)?0的解，再解指数方程ax?y。

f(x)f(x)（4）F(ax4. 对数方程的基本类型： （1）logax?b(a?0,a?1),其解为x?ab；

?f(x)?g(x)?（2）logaf(x)?logag(x)(a?0,a?1)，转化为?f(x)?0求解；

?g(x)?0?（3）F(loga

典型例题

【例1】 解下列方程： (1)9+6=2

xx2x+1

x)?0(a?0,a?0)，用换元法先求方程F(y)?0的解，再解对数方程logax?y。

；

(2)log4(3-x)+log1(3+x)=log4(1

五年级数学下册《解方程》教学设计与反思

任晓丽

学习内容：人教版义务教育教科书五年级上册P67-68页 教材分析：

本节课是人教版小学五年级数学上册67、68页的例1 、例 2,本节内容对于五年级学生来说是一堂全新数学概念课，在这一节前,学生已经初步了解了方程的意义和等式的基本性质,这一课时需掌握解x+(-)a=b或x×(÷)a=b式的方程，为学生下一步学习“解稍复杂的方程”奠定了坚实的基础，又使学生运用数学知识解决实际问题能力提高到一个新的水平。 学情分析：

小学五年级的学生已初步接触了一些代数知识。本学段的学生有一定的自主学习合作探究的愿望和能力，但有效的学习还待于进一步加强和培养。 设计理念：

根据教学内容的特点，为了更好地突出重点、突破难点，教学中采用以情景教学法、观察探究法为主，适时运用电教媒体化静为动，让学生更直观地学到知识，并培养学生的思维能力。 学生的学习过程是一个主动构建、动态形成的过程，教学中遵循“引导探究学习，促进主动发展”的思路。主要让学生合作学习，给学生充足的空间，开展探究性学习，让他们进行独立思考，并与同伴交流，亲身经历提出问题、解决问题的过程，力求体现教学中的主动学习原则和直观性原则。 教学目标：

1、通过操作、

市场需求函数由下式给出：

qtD=A+Bpt

其中，qtD为t时刻的需求量，pt是t时刻的市场主导价格

我们假定供给决策是在产品上市的前一期做出的。因此，t时期市场的共给量是在t－1时期以供应商预期的未来市场价格为基础决定的。令Et?1(pt)表示预期价格，那么时期t的供应量由下式给出：

qtS=F+GEt?1(pt)

为了使模型更加的完整，我们需要指定预期价格的形成方式。在基本的蛛网模型中，我们假定

Et?1(pt)=pt?1

这意味着，供应商预期下一期的市场价格等于当前的市场价格。

假定在每一期价格都会调整到市场出清水平，那么每一期的供给和需求都相等。这意味着

A+Bpt= F+GEt?1(pt) 重新整理，可以求得pt：

pt=

GF?Apt?1? （18.8） BB该式说明，价格的时间路径服从一个一阶线性自治差分方程（以t和t-1，而不是t和t+1的项表示）。稳态价格p可以通过令pt=pt?1=p求得。

按照上述做法，我们求得

p=

A?F G?B注意，稳态价格也是使供给和需求相等时的价格。

比较等式（18.8）和等式（18.1），我们知道