含参二次不等式恒成立

不等式中恒成立问题的解法研究

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：

类型1：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，（1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0。 类型2：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)

b?b??b??????????????（1）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a， 或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0?f(?)?0 f(x)?0在x?[?,?]上恒成立???f(?)?0?f(?)?0a?0（2）当时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??

f(?)?0?b?b??b?????????????? f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0类型3：

f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)min??f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)max??。 类型4：

f(x)?g(x)对一切x?I恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min?g(x)max(x?

自写论文

含参不等式恒成立问题的四大策略

山东省平度第一中学 宋同海

联系电话:15166630349 邮箱:649265828@

以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.

关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法

策略一：分离参变量，构造函数求最值

分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）f(x) a恒成立 a f(x)min

（2）f(x) a恒成立 a f(x)max x2 2x a,x [1, )，若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，典例１．函数f(x) x

求实数a的取值范围。

解析：若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，

x2 2x a 0恒成立， 即对x [1, )，f(x) x

考虑到不等式的分母x [1, )，只需x 2x a 0在x [1, )时恒成立，即

2a x2 2x在x [1, )时恒成立。而易求得二次函数h(x) x 2x在[1, )上的最2

大值为 3，所以a 3。

策略二：变更主元

自写论文

含参不等式恒成立问题的四大策略

山东省平度第一中学 宋同海

联系电话:15166630349 邮箱:649265828@

以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.

关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法

策略一：分离参变量，构造函数求最值

分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）f(x) a恒成立 a f(x)min

（2）f(x) a恒成立 a f(x)max x2 2x a,x [1, )，若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，典例１．函数f(x) x

求实数a的取值范围。

解析：若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，

x2 2x a 0恒成立， 即对x [1, )，f(x) x

考虑到不等式的分母x [1, )，只需x 2x a 0在x [1, )时恒成立，即

2a x2 2x在x [1, )时恒成立。而易求得二次函数h(x) x 2x在[1, )上的最2

大值为 3，所以a 3。

策略二：变更主元

含参不等式恒成立问题例析

廖东明

含参不等式恒成立问题是高考的热点问题，此类问题灵活多变，综合性强，不少学生望而生畏．理解问题的本质，掌握解决的方法，多练习几道此类试题，就能增强解决此类问题的信心．

一、已知参数范围求自变量的求值范围

例1 对任意[2,3]a ∈-，不等式2(6)930x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围．

分析：参数a 是一次的，变量x 的最高次数为二次，采用变更主元法，构造关于a 的一次函数()g a 建构不等式组获解．另外，参数a 可以分离，也可以利用分离参数法求解．

解法 1 构造函数2()(3)69g a x a x x =-?+-+，则问题转化为()0g a >对任意[2,3]a ∈-恒成立．若3x =，则()0g a =，不符合题意．所以3x ≠，则问题等价于

(2)0(3)0g g ->??>?，即22815030

x x x x ?-+>??->??，解得0x <或5x >，所以(,0)(5,)x ∈-∞+∞． 解法 2 不等式2(6)930x a x a +-+->即2(3)(3)x a x -?<-对任意[2,3]a ∈-恒成立．显然30x -≠．若3x <，则3a x <-即3x a

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有

1）f(x)?0对x?R恒成立???a?0???0

2）f(x)?0对x?R恒成立???a?0??0.

?例1．已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立，即有

??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?13 所以实数a的取值范围为(??,?1)?(13,??)。

若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有

1）f(x)?0对x?R恒成立???a?0???0

2）f(x)?0对x?R恒成立???a?0??0.

?例1．已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立，即有

??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?13 所以实数a的取值范围为(??,?1)?(13,??)。

若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，

本文档为精品文档，如对你有帮助请下载支持，如有问题请及时沟通，谢谢支持！

1 《含参不等式恒成立问题的求解策略》教（学）案

教学目标：

知识与技能：理解不等式恒成立问题成立的充要条件，并掌握解决此类问题的基本技能． 过程与方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．

情感、态度与价值观：通过对问题的探究，理解事物间普遍联系与辩证统一观点，体验成功的喜悦．

教学重点：

重 点：理解解决不等式恒成立问题的实质，有效掌握不等式恒成立问题的基本技能． 教学难点：

难 点：利用转化思想，通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题． 教学方法：诱导探究法

教学手段： 多媒体辅助教学

教学班级：乌鲁木齐市高级中学2011届高三21班

教学时间：2011年3月24日第8节 地点：4号楼（行政楼）二楼电教室 教学过程：

一、设置情境，感受生活

市二模考试结束了，几人欢喜几人愁！教室外面的那个同学考试成绩比我们班同学都低，用不等式的知识怎样概括表达？可以归结为什么类型的问题？

二、了解高考，把握热点

简单的生活问题，概括为“不等式恒成立”的数学问题，它不但在近几年高考中频繁出现，而且出现的试题大多数以大题为主。

不等式第二讲：一元二次不等式

一、一元二次不等式的解法

判别式??b?4ac 方程2??0 有两个不等实根 ??0 有两个相等实根 ??0 无实根 f(x)?ax2?bx?c?0 二次函数 y y y y?ax2?bx?c(a?0) 的图象 不等式O x1 x2 x O x1?x2x O x ax?bx?c?0(a?0) 的解集 不等式ax?bx?c?0 22?x|x?x1或x?x2? ?b?xx???? 2a??R (a?0)的解集 二、总结规律： ?x|x1?x?x2? ? ? 1、方程f(x)?0的实根是函数y?f(x)的图像与x轴的交点，也是函数y?f(x)的零点。 2、方程f(x)?0的根就是不等式解集的端点，不等式解集的端点就是方程f(x)?0的根。 3、不等式大于0的解集就是方程的根之外，小于0就是方程的两根之间；（大于取两根之外，小于取两根之间）（开口向上，即二次系数大于0）

?a?04、①不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?；

??0?2②不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?2?a?0

???05、如果函数y?f(x)在区间?a,b?上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)?f(b)?0，那么函数y

复习:

一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 1、判别式：

，

2、 韦达定理 x1,x2是方程的两个实数根

3、求根公式

例1：当m为何值时，关于x的方程x2-2（m+2）x+m2-1=0

1) 有两个正根；2）有一正根一负根；3）有两个大于2的根

二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）

顶点坐标

线），与x轴的交点坐标是

，交点式为

和

（仅限于与x轴有交点的抛物

。对称轴为直线

。

例1：已知二次函数y=ax2+2ax+1在-3≤x≤2上有最大值4，求a值

例2：求y=x2-4x-5在0≤x≤a上的最值

例3：f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1上的最大值为2，求a

一元二次不等式的解法

步骤：1.二次项系数变为正 2.看能否因式分解 ①若能因式分解 口诀：大于两根之外，小于两根之间。②若不能因式分解 则算△ 再画图求解 例：（1）2x2-3x-2>0

(2)-3x2+6x-2>0 (3)4x2-4x+1>0 (4)-x2+2x-3>0

试解关于x的不等式 1、ax2-(a+1)x+1<0

2、(1-a)x2+4ax-(4a+1)>0

分式不等式解法：

高次不等式解法

数轴标根法 步骤 1.右边化为02.因式分解成多个因式相乘积的

第 课时

一、课题

不等式中恒成立问题的解法研究 二、高考要求

不等式中的恒成立问题，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。

三、目的与要求：

四、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序

用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:

（1）恒成立问题

若不等式f x A在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最小值大于A,

若不等式f x B在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最大值小于B.

（2）能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f x A成立,即f x A在区间D上能成立, ,则等价于函数f x 在区间D上的最大值大于A,

若在区间D上存在实数x使不等式f x B成立,即f x B在区间D上能成立, ,则等价于函数