常数项级数的概念和性质

无穷级数数项级数 无穷级数 幂级数 傅氏级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算

第十一章

第一节

常数项级数的 基本概念和性质一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质

一、常数项级数的概念1. 引例

无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中

引例1 引例 数

1 化为小数. 3

1 & , 且 0.3 = 3 = 0.33L = 0.3 3 10 3 3 0.33 = 0.3 + 0.03 = + 2 10 10 3 3 3 0.333 = 0.3 + 0.03 + 0.003 = + 2 + 3 10 10 10

3 3 3 一般地， 1 3 一般地， 0.33L3 = + 2 + L+ n 2 10 10 10 n个

3 3 3 1 于是 = 0.33L = + 2 + L+ n + L 10 10 3 10

1 将 表示成无穷多项之和 3

求极限 lim (1 + a + a2 + L + an ) ( a < 1) , 引例2 引例n→∞

相当于求 无穷多项的和 1 + a + a2 + L + an + L.

引例3 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正 3 ×

大一数学

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数学与计算机科学学院毕业论文

毕 业 论 文

论文题目: 数项级数和函数项级数敛散性的判别

学 院:数学与计算机科学学院 专 业:信息与计算科学 年 级:07级 姓 名:唐婷 指导教师:廖莉 职 称:讲师

（ 2011 年 6 月） 宜春学院教务处制

数学与计算机科学学院毕业论文

目 录

毕业设计（论文）任务书.......................................................................................................Ⅰ 毕业设计（论文）开题报告...................................................................................................Ⅱ 资格审查表...............................................................................................................................Ⅲ

┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 装 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 订 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ 线 ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊ ┊

安徽工业大学 信息与计算科学系 毕业论文

题 目: 姓 名: 学 院: 专 业: 班 级: 学 号: 指导教师:

中文：级数求和的若干方法 English:Summation of several methods 徐科 数理学院 信息与计算科学 2009级1班 099084166 张 敬 和

2013年6月8日

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第十二章数项级数

1 讨论几何级数?qn的敛散性.

n?0?1?qn1解当|q|?1时, Sn??q?? , ( n?? ). 级数收敛;

1?q1?qk?0nk当|q|?1时, Sn??,级数发散 ;

当q?1时, Sn?n?1??? , ( n?? ), 级数发散 ; 当q??1时, Sn??11?(?1)n, ( n?? ), 级数发散 . 2??综上, 几何级数

?qn当且仅当|q|?1时收敛, 且和为

n?0?1 ( 注意n从0开始 ). 1?q2

1?讨论级数n?1n(n?1)的敛散性. n?n讨论级数n?12n?

解用链锁消去法求.

3

的敛散性.

解设Sn?k123n?1n???????n, ?k23n?1222222k?11123n?1nSn?2?3?4 ? ? ?n?n?1, 222222111111nSn?Sn?Sn??2?3???n?n?1 22222221?1?1?n22??11?2????n?1, ( n?? ). n?12?Sn?2, ( n?? ).

因此, 该级数收敛.

渤海大学学士学位论文

题目：函数项级数一致收敛判定与性质 系别：数学系

专业：数学与应用数学 姓名： 班级：

指导教师：

目录

摘要------------------------------------------------------------------------------1 英文摘要------------------------------------------------------------------------1 引言------------------------------------------------------------------------------2 一 预备知识-----------------------------------------------------------------2 二 函数项级数一致收敛的柯西准则-----------------------------------7 (一) M判别法----------------------------------------------------------8 (二) 阿贝尔判别法----------------

渤海大学学士学位论文

题目：函数项级数一致收敛判定与性质 系别：数学系

专业：数学与应用数学 姓名： 班级：

指导教师：

目录

摘要------------------------------------------------------------------------------1 英文摘要------------------------------------------------------------------------1 引言------------------------------------------------------------------------------2 一 预备知识-----------------------------------------------------------------2 二 函数项级数一致收敛的柯西准则-----------------------------------7 (一) M判别法----------------------------------------------------------8 (二) 阿贝尔判别法----------------

渤海大学学士学位论文

题目：函数项级数一致收敛判定与性质 系别：数学系

专业：数学与应用数学 姓名： 班级：

指导教师：

目录

摘要------------------------------------------------------------------------------1 英文摘要------------------------------------------------------------------------1 引言------------------------------------------------------------------------------2 一 预备知识-----------------------------------------------------------------2 二 函数项级数一致收敛的柯西准则-----------------------------------7 (一) M判别法----------------------------------------------------------8 (二) 阿贝尔判别法----------------

第六讲 数项级数的敛散性判别法

§1 柯西判别法及其推广

比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I：设

?u，?vnn?1n?1??n都是正项级数，存在c?0，使

?un?cvn(n?1,2,3,...)

n

（i） 若

?vn?1收敛，则

?un?1?n也收敛；（ii） 若

??un?1?n发散，则

?vn?1?n也发散．

比较原理II（极限形式）设

?u，?vnn?1n?1?n均为正项级数，若

limun?l?(0,??)

n??vn

则

?u、?vnn?1n?1??n同敛散．

根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设

?un?1?n为正项级数，

（i）若从某一项起（即存在N，当n?N时）有nun?q?1（q为常数），

则

?un?1?n收敛；

?（ii）若从某项起，nun?1，则?un发散．

n?1证（i）若当n?N时，有nun?q?1，即un?qn，而级数

?qn?1?n收敛，

根据比较

第六讲 数项级数的敛散性判别法

§1 柯西判别法及其推广

比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I：设

?u，?vnn?1n?1??n都是正项级数，存在c?0，使

?un?cvn(n?1,2,3,...)

n

（i） 若

?vn?1收敛，则

?un?1?n也收敛；（ii） 若

??un?1?n发散，则

?vn?1?n也发散．

比较原理II（极限形式）设

?u，?vnn?1n?1?n均为正项级数，若

limun?l?(0,??)

n??vn

则

?u、?vnn?1n?1??n同敛散．

根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设

?un?1?n为正项级数，

（i）若从某一项起（即存在N，当n?N时）有nun?q?1（q为常数），

则

?un?1?n收敛；

?（ii）若从某项起，nun?1，则?un发散．

n?1证（i）若当n?N时，有nun?q?1，即un?qn，而级数

?qn?1?n收敛，

根据比较